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Conteo y Probabilidad

Cuestiones a considerar. Conceptos. Problemas. Ejemplos.

Conteo  y probabilidad

Conteo y probabilidad

Permutaciones y combinaciones. ¿Cuál es la diferencia básica entre una situación que requiere la aplicación de la regla de las permutaciones y una que requiere la aplicación de la regla de las combinaciones?

La diferencia básica está dada por el orden:

En las permutaciones sí importa el orden y en las combinaciones no importa el orden.

En las permutaciones ABC <> BAC y en las combinaciones ABC = BAC.

Conteo. Al tratar de calcular la probabilidad de ganar la lotería Fantasy 5 de California, es necesario obtener el número de los distintos resultados que pueden ocurrir cuando se seleccionan 5 números entre 1 y 39. ¿Por qué no se puede calcular ese número al hacer una lista de todas las posibilidades?

Calcular la probabilidad de ganar la lotería Fantasy 5 de California implica determinar el número total de combinaciones posibles al seleccionar 5 números de un conjunto de 39 números. Este cálculo se realiza utilizando combinaciones, no permutaciones, porque el orden en que se seleccionan los números no importa. La fórmula para calcular el número de combinaciones posibles es:

C(n,m) = n! / n! (n-m)!

donde n es el total de números entre los cuales se eligen (39 en este caso) y m es el número de selecciones (5 en este caso). Aplicando esto a la lotería Fantasy 5:

C(39,5) = 39!/5!(39-5)! =39! / 5!34! = 30x38x37x36x35 / 5x4x3x2x1 = 575.757

Aunque calcular esta expresión te da el número exacto de combinaciones posibles, la razón por la cual no es práctico hacer una lista de todas las posibilidades se debe a la magnitud de este número.

Hay 575,757 combinaciones posibles. Listar manualmente todas estas combinaciones sería extremadamente impráctico y consumiría muchísimo tiempo. Además, manejar y verificar una lista tan extensa sería un proceso muy complejo y propenso a errores.

Por lo tanto, en lugar de enumerar todas las combinaciones posibles, se utiliza la fórmula de combinaciones para calcular directamente el número total de resultados posibles. Este método es mucho más eficiente y práctico para calcular probabilidades en este contexto.

Frecuencia relativa. Un investigador está analizando una muestra grande de texto para calcular la frecuencia relativa de la palabra “zip” entre las palabras de tres letras. Es decir, el investigador quiere estimar la probabilidad de encontrar la palabra “zip” cuando se selecciona una palabra de tres letras al azar de un texto típico en inglés. ¿Se puede calcular tal probabilidad utilizando los métodos de esta sección?

Para calcular la probabilidad de que esté la palabra zip en un texto en ingles no se recurre al algebra combinatoria sino al muestreo de textos en inglés. Por ejemplo, como sigue a continuación, con los siguientes pasos:

  1. Recolectar los datos:

  • Obtener una muestra       suficientemente grande y representativa de texto en inglés. Esto puede       ser un libro, un artículo, o una colección de textos.

  1. Identificar las palabras de      tres letras:

  • Procesar el texto para       identificar todas las palabras de tres letras. Esto implica filtrar       palabras que no tienen tres letras y eliminar puntuaciones u otros       caracteres que no forman parte de la palabra.

  1. Contar las palabras de tres      letras:

  • Contar el total de palabras       de tres letras en el texto.

  1. Contar las ocurrencias de la      palabra "zip":

  • Contar cuántas veces       aparece la palabra "zip" entre todas las palabras de tres       letras.

  1. Calcular la frecuencia      relativa:

  • La frecuencia relativa de       la palabra "zip" se calcula dividiendo el número de veces que       aparece "zip" por el número total de palabras de tres letras.

La fórmula para la frecuencia relativa = Número de veces que aparece "zip"/Número total de palabras de tres letras

Supongamos que el investigador analiza un texto y encuentra los siguientes datos:

  • Total,      de palabras de tres letras: 5000

  • Número      de veces que aparece "zip": 15

La frecuencia relativa de la palabra "zip" sería: 15/5000=0.003

Esto significa que la probabilidad estimada de encontrar la palabra "zip" cuando se selecciona una palabra de tres letras al azar en este texto es 0.003, o 0.3%.

Consideraciones Adicionales:

  • Representatividad      del texto: La      muestra de texto debe ser suficientemente representativa del inglés      general para que los resultados sean significativos.

  • Preprocesamiento      de texto:      Asegurarse de que las palabras están correctamente normalizadas (por      ejemplo, convertidas a minúsculas) y que se han eliminado las puntuaciones      y otros caracteres no deseados.

  • Tamaño      de la muestra: Un mayor tamaño de muestra generalmente      proporciona una estimación más precisa de la frecuencia relativa.

Siguiendo estos pasos, el investigador podrá calcular de manera efectiva la frecuencia relativa de la palabra "zip" entre las palabras de tres letras en el texto analizado.

Probabilidad. Una persona piensa que cuando se lanza una moneda, existen tres posibles resultados: resulta una cara o resulta una cruz o la moneda cae de canto. Con tres resultados en cada lanzamiento, la regla fundamental del conteo sugiere que hay 9 posibilidades (3 x 3 = 9) en dos lanzamientos de una moneda. De esto se deduce que la probabilidad de obtener dos caras en dos lanzamientos es de 1/9. ¿Es correcto este razonamiento? Si no es así, ¿cuál es el error?

Si es un razonamiento correcto porque la probabilidad de obtener 2 caras es:

P(2caras) = P(cara, cara) = 1/3 x 1/3 = 1/9

Probabilidad de ganar la lotería. Puesto que la lotería Fantasy 5 de California se gana al seleccionar los cinco números correctos (en cualquier orden) entre 1 y 39, existen 575,757 combinaciones diferentes de cinco números que podrían elegirse, y la probabilidad de ganar esta lotería es de 1/575,757. En lo siguiente, calcule la probabilidad de ganar la lotería indicada.

a. Massachusetts Mass Cash Lottery: Seleccione los cinco números ganadores entre 1, 2, . . . , 35.

b. New York Lotto: Seleccione los seis números ganadores entre 1, 2, . . . , 59.

c. Pennsylvania Lucky for Life Lotto: Seleccione los seis números ganadores entre 1, 2, . . . , 38.

d. Texas Cash Five: Seleccione los cinco números ganadores entre 1, 2, . . . , 37.

e. California Fantasy 5: Esta lotería se gana al seleccionar los cinco números correctos entre 1, 2, . . . , 39. La probabilidad de ganar el juego es de 1>575,757. ¿Cuál es la probabilidad de ganar si se modifican las reglas y además de seleccionar los cinco números correctos, deben seleccionarse en el mismo orden en que salen?

Resolví este problema en un jupiter notebook en Python: Porb-Comb-Perm.ipynb dentro de stats en mi portafolio Python.

Para los puntos a, b, c, d utilicé la formula de combinaciones, es decir el método math.comb.

Para el punto e. utilicé la formula de variaciones e decir el método math.perm

Los resultados son:

Fantasy: Probabilidad de ganar la lotería = 1/575757 = 1.736843842107e-06

a. Probabilidad de ganar la lotería = 1/324632 = 3.0804110500505186e-06

b. Probabilidad de ganar la lotería = 1/45057474 = 2.2193876203535066e-08

c. Probabilidad de ganar la lotería = 1/2760681 = 3.6222946439664705e-07

d. Probabilidad de ganar la lotería = 1/435897 = 2.2941199411787646e-06

e. Probabilidad de ganar la lotería = 1/69090840 = 1.4473698684225e-08

Nucleótidos de ADN. El ADN (ácido desoxirribonucleico) está hecho de nucleótidos, y cada uno puede contener cualquiera de las siguientes bases de nitrógeno: A (adenina), G (guanina), C (citosina), T (tiamina). Si tenemos que elegir una de las cuatro bases (A, G, C, T) tres veces para formar un terceto lineal, ¿cuántos triples diferentes son posibles? Observe que se pueden seleccionar las cuatro bases para cada uno de los tres componentes del terceto.

Para determinar cuántos tríos diferentes de nucleótidos son posibles cuando seleccionamos una de las cuatro bases (A, G, C, T) tres veces para formar un terceto lineal, debemos considerar que cada posición del terceto puede ser ocupada por cualquiera de las cuatro bases.

Matemáticamente, esto se puede calcular usando el principio del conteo multiplicativo. Para cada una de las tres posiciones del terceto, hay 4 opciones (A, G, C, T):

Numero de trÍos posibles=4×4×4=43=64

Por lo tanto, hay 64 tríos diferentes posibles de nucleótidos.

Desde el punto de vista de la regla de las cajas son 3 cajas y en cada caja puedo poner las 4 letras (para tomar tres de cada caja) por eso es 4 x 4 x 4.

Para verificar y visualizar este resultado, podemos listar algunos ejemplos de tales tríos:

  • AAA, AAG, AAC, AAT

  • ACA, ACC, ACG, ACT

  • ATA, ATC, ATG, ATT

  • GAA, GAG, GAC, GAT

  • TTT, TTA, TTC, TTG

  • Y así sucesivamente...

Cada combinación única de las letras A, G, C, T en tres posiciones distintas forma un trío diferente.

En resumen, el número total de diferentes tríos de nucleótidos posibles es: 64.

Discriminación por edad. La empresa Cytertonics Communications Company redujo su personal de gerencia de 15 a 10 gerentes. La compañía afirmó que seleccionó a cinco gerentes al azar para despedirlos. Sin embargo, los cinco gerentes elegidos son los cinco gerentes de mayor edad entre los 15 contratados. Calcule la probabilidad de que, cuando se seleccionan cinco gerentes al azar de un grupo de 15, se seleccione a los cinco de mayor edad. ¿La probabilidad es lo suficientemente baja como para acusar a la empresa de que, en vez de usar una selección aleatoria, en realidad sólo despidió a los gerentes de mayor edad?

La cantidad de grupos de 5 esta dada por las combinaciones (no importa el orden):

C(15, 5) = 15!/5!(10!) = 3003.

Resolví este problema en un jupiter notebook en Python: Porb-Comb-Perm.ipynb dentro de stats en mi portafolio Python.

Grupos de 5: 3003

Probabilidad de elegir los 5 gerentes más viejos es 1/3003 = 0.000333000333000333

Esta probabilidad es muy baja para ser una casualidad.

Es probable que los gerentes más adultos hayan sido elegidos a propósito y no por casualidad.

Diseño de computadoras. En el diseño de una computadora, si un byte se define como una secuencia de 8 bits y cada bit debe ser 0 o 1, ¿cuántos bytes diferentes son posibles? (Con frecuencia se usa un byte para representar un carácter individual, como una letra, un dígito o un símbolo de puntuación. Por ejemplo, cierto sistema de codificación representa la letra A como 01000001). ¿Existen suficientes bytes diferentes para los caracteres que usamos comúnmente, incluyendo letras minúsculas, letras mayúsculas, dígitos, símbolos de puntuación, signo de pesos y algunos otros?

La cantidad de diferentes bytes está dada por 28=256, es decir son variaciones con repetición. Variaciones de 2 elementos tomados de a 8. Y sí 256 bytes son suficientes para los caracteres que usamos comúnmente.

Experimento de crecimiento de árboles. Al diseñar un experimento para estudiar el crecimiento de los árboles, se utilizaron los siguientes cuatro tratamientos: ninguno, sólo riego, sólo fertilización, riego y fertilización. Una fila de 10 árboles se extiende desde una zona húmeda hasta una área de tierra seca. Si se asigna uno de los tratamientos al azar a cada uno de los 10 árboles, ¿cuántos arreglos de tratamientos diferentes son posibles?

Para determinar cuántos arreglos de tratamientos diferentes son posibles en este experimento, consideremos que hay 4 tratamientos (ninguno, sólo riego, sólo fertilización, riego y fertilización) y que cada uno de estos tratamientos puede ser asignado a cada uno de los 10 árboles de forma independiente.

Usando la regla de las cajas: imaginemos que cada árbol es una caja y debajo ponemos los cuatro tratamientos posibles. Se trata de variaciones con repetición porque los tratamientos se asignan al azar.

Podemos usar el principio de multiplicación para calcular el número total de arreglos posibles. Dado que hay 4 tratamientos y 10 árboles, cada árbol tiene 4 posibles opciones de tratamiento. El número total de arreglos posibles es entonces:

La cantidad de opciones o variantes son 4 elevado a la 10 = 1.048.576

Diseñar experimentos. Al diseñar un experimento que implica un tratamiento aplicado a 12 sujetos de prueba, los investigadores planean utilizar una muestra aleatoria simple de 12 sujetos, elegidos de un grupo de 20 individuos disponibles. (Recuerde que en un muestreo aleatorio simple todas las muestras del mismo tamaño tienen la misma posibilidad de ser elegidas). ¿Cuántas muestras aleatorias simples diferentes son posibles? ¿Cuál es la probabilidad de cada muestra aleatoria simple en este caso?

Son 12 elementos que pueden tomar de 20 individuos. Se trata de una combinación de 20 elementos tomados de a 12. Porque los individuos seleccionados son sin repetición y no importa el orden. Por lo tanto: ¿Cuántas muestras aleatorias simples diferentes son posibles?

C(20,12) = 20! / 12!8!

C(20,12) = 125970

Y en consecuencia: ¿Cuál es la probabilidad de cada muestra aleatoria simple en este caso?

1/125970

7.938398031277288e-06

Probabilidad de píldoras defectuosas. Un lote de píldoras consta de 7 aceptables y 3 defectuosas (porque contienen la cantidad incorrecta del fármaco).

a. ¿Cuántas permutaciones diferentes son posibles cuando se seleccionan al azar las 10 píldoras (sin reemplazo)?

b. Si se eligen al azar 3 píldoras sin reemplazo, calcule la probabilidad de seleccionar las tres píldoras defectuosas.

c. ¿Cuántas permutaciones diferentes son posibles cuando se seleccionan al azar las 10 píldoras (sin reemplazo)?

a. ¿Cuántas permutaciones diferentes son posibles cuando se seleccionan al azar las 10 píldoras (sin reemplazo)?

· Se trata de 10 píldoras aceptables habrían 10! Formas diferentes de elegir una. Es decir que el espacio muestral esta dado por las P(10)=10!

· En este caso la respuesta a la pretunta es 10! Porque no importa (en la pregunta) si hay pildoras ok o defectuosas.

· 10!=10×9×8×7×6×5×4×3×2×1=3,628,800

b. Si se eligen al azar 3 píldoras sin reemplazo, calcule la probabilidad de seleccionar las tres píldoras defectuosas.

· Primero, calculamos el número total de maneras de seleccionar 3 píldoras de un total de 10.

o Esto se puede hacer utilizando combinaciones, porque no importa el orden (y por lo tanto tampoco importa si hay repeticiones:

o C(n,m) = n! / m! (n-m)!

o C(10, 3) = 10!/7!3! = 120 (denominador)

· Luego, calculamos el número de maneras de seleccionar las 3 píldoras defectuosas de las 3 disponibles. Esto también es una combinación porque no importa el orden (es lo mismo):

o C(n,m) = n! / m! (n-m)!

o C(3,3) = 3!/3!0! = 1

· Y la respuesta a este punto b. es = 1/120.

Rutas aéreas. Usted acaba de inaugurar su propia línea aérea llamada Air Me (Su lema: “Para nosotros, usted no es sólo otra estadística”). Hasta ahora, usted cuenta con un avión para una ruta que conecta Austin, Boise y Chicago. Una ruta es Austin-Boice-Chicago y una segunda ruta es Chicago-Boise-Austin. ¿Cuántas rutas diferentes son posibles si el servicio se expande para incluir un total de ocho ciudades?

¿Rutas diferentes para un total 8 ciudades?

Esto implica que se trata de todas las permutaciones posibles de 8 ciudades sin repetición. Esto es permutaciones de orden n = 8. Es decir: P(n) = 8x7x6x5x4x3x2x1

· P(8) = 40.320 rutas en total

Prueba de una afirmación. Mike afirma que ha desarrollado la habilidad de obtener un 6 casi siempre que tira un dado. Usted prueba su afirmación haciendo que Mike tire un dado cinco veces, y él obtiene el 6 cada vez. Si Mike no tiene posibilidad de afectar los resultados, calcule la probabilidad de que lance el dado cinco veces consecutivas y obtenga 6 en todas. ¿La probabilidad es lo bastante baja como para descartar el azar como explicación de los resultados de Mike?

· P(6 en 5 tiradas) = (1/6) ** 5 = 0.00012860

· Esto es un número muy bajo y permite descartar el azar como explicación de los resultados

· Otra forma de calcularlo es con el numero de casos favorables en 5 tiradas que es 1 (uno) sobre el numero de casos posibles en 5 tiradas que es 6 elevado a la 5.

o El numero de casos posibles es 1

o El numero de casos favorables es 7776

o El resultado es 0.000129

· En cualquier caso el resultado es un número tan bajo que se descarta el azar como explicación de los argumentos planteados en el problema.

Selección del género. En una prueba de un método de selección del género, nacen 14 bebés y 10 de ellos son niñas.

a. Calcule el número de diferentes secuencias de género posibles cuando nacen 14 bebés.

b. ¿En cuántas formas se pueden ordenar en secuencia 10 niñas y 4 niños?

c. Si se seleccionan al azar 14 bebés, ¿cuál es la probabilidad de que sean 10 niñas y 4 niños?

d. ¿Al parecer el método de selección del género produce un resultado significativamente diferente del que se esperaría debido al azar?

a. El número de diferentes secuencia posibles 2 a la 1 = 16384.

b. Las formas de ordenar en secuencia 10 niñas y 14 niños consiste en ordenar dos subconjuntos de 10 y 4 elementos dentro del conjunto de 14 niños. Las repeticiones dentro de un conjunto de elementos disminuyen la cantidad de permutaciones. La fórmula es P(n, n1,…nn) = n! / (n1!.. nn!). P(14, 10, 4) = 14! / (10! 4!) = 1001

c. Si se seleccionan al azar 14 bebes, la probabilidad de que sean 10 niñas y 4 niños estará dada por la probabilidad de obtener alguna de las secuencias de 10 niñas y 4 niños sobre todo el espacio muestral que resulte del nacimiento de 14 niños.

a. Aquí el numerador o numero de casos favorables es: P(14,10,4)

b. El denominador o número de casos posibles es: 2 ** 14.

c. La probabilidad es : 0.06109619140625

d. "No parece que el método de selección de genero produce un resultado significativamente diferente del que se esperaría debido al azar."

Elección en un consejo de directores. En el Consejo de directores del Newport General Hospital hay 12 miembros.

a. Si deben elegir a un presidente, un primer vicepresidente, un segundo vicepresidente y un secretario, ¿cuántas listas de candidatos diferentes son posibles?

b. Si deben conformar un subcomité de ética de cuatro miembros, ¿cuántos subcomités diferentes son posibles?

c. Si los miembros del subcomité no pueden ser los mismos que los elegidos para presidente, viceprecidentes y secretarios, ¿cuantos subcomités posibles se pueden armar?

a. Para esta elección hay que ver todas las variantes posibles sin repetición en donde sí importa el orden porque una misma persona puede ocupar cualquiera de los tres cargos pero solo uno y sin repetición. Entonces, V(n,m)= n!/(n-m)! = V(12,4) = 12!/8!= 1880.

b. Si deben conformar un comité de ética de cuatro miembros entonces hay que ver las combinaciones ya que el orden no importa, entonces las combinaciones serían C(n,m)=n!/m!(n-m)! = C(12,4)= 12!/4!8!=1320

c. Si el comité se formara luego de las elecciones y las mismas personas no pudieran ser miembros del subcomité entonces las combinaciones serían menos: C(8,4) = 8!/4!4! = 70

Sopa de letras. Muchos periódicos incluyen una “sopa de letras”, un crucigrama en el que el lector debe descifrar letras para formar palabras. Por ejemplo, las letras TAISER se incluyeron en un periódico del día en que se escribió este ejercicio. ¿De cuántas formas se pueden acomodar las letras TAISER? Identifique la palabra codificada y luego determine la probabilidad de obtener este resultado seleccionando al azar un arreglo de las letras dadas.

a. La palabra TAISER constituye un conjunto de letras sin repetición. Entonces estas letras se pueden acomodar de una cantidad de formas dada por la permutación de 6 elementos sin repetición, es decir, 6!=6x5x4x3x2x1 = 720

b. La probabilidad de obtener una palabra codificada con las letras TAISER es de 1/6!= 0.001388888888888889

Cálculo del número de melodías posibles.  En el Directorio de melodías y temas musicales de Dennys Parsons, se listan melodías de más de 14,000 canciones de acuerdo con el siguiente esquema: la primera nota de cada canción se representa por un asterisco (*) y las notas sucesivas se representan por R (para repetir la nota previa), S (para una nota que sube), o B (para una nota que baja). La quinta sinfonía de Beethoven comienza como *RRB. Se representan melodías clásicas a través de las primeras 16 notas. Con este esquema, ¿cuántas melodías clásicas diferentes son posibles?

Para calcular el número de melodías posibles utilizando el esquema descrito en el Directorio de melodías y temas musicales de Dennys Parsons, consideramos que:

a. La primera nota de cada melodía se representa por un asterisco (*), y no aporta variaciones adicionales.

b. Las notas sucesivas se representan por R (para repetir la nota previa), S (para una nota que sube), o B (para una nota que baja).

c. Cada una de las 15 notas sucesivas después de la primera tiene 3 opciones (R, S, B).

Para cada una de las 15 notas sucesivas, hay 3 opciones posibles. El número total de combinaciones de las 15 notas, cada una de las cuales puede ser R, S, o B, se calcula como: 3 elevado a la 15 = 14348907

Candados de combinación. Un candado “de combinación” común se abre con la secuencia correcta de tres números entre 0 y 49, inclusive. (Un número puede usarse más de una vez). ¿Cuál es la probabilidad de adivinar estos tres números y abrir el candado en el primer intento?

· Cada número de la combinación es una secuencia o arreglo o conjunto de números entre 0 y 49. Cada valor tendrá un número entre 0 y 49. Son 50 numeros.

· Se trata de una secuencia de 3 números.

· Se trata de una permutación con repetición. P(50,3) = 50 **3 = 125000

· La probabilidad de abrir la combinación es 1/ P(50,3) = 1/125000 = 8e-06

Cálculo del número de códigos de área.  El reportero Paul Wiseman del diario USA Today describió las antiguas reglas para los códigos de área telefónicos con tres dígitos al escribir acerca de “códigos de área posibles con 1 o 0 en el segundo dígito. (Se excluyen los códigos terminados en 00 y 11, para llamadas gratuitas, servicios de emergencia y otros usos especiales)”. Los códigos que empiezan con 0 o 1 también deben excluirse. ¿Cuántos códigos de área distintos eran posibles bajo estas antiguas reglas?

Este problema se trata de permutaciones con repetición Pcr(n,m) = n elevado a la m. Pero en este caso está sujeto a restricciones.

En este caso resulta muy útil utilizar la regla de multiplicación y de las cajas.

En efecto si se tratara de código de áreas de tres dígitos sin restricciones la cantidad de variaciones posibles sería Pcr(10,3) = 10x10x10 = 10 elevado a la 3. Esto es a que cada digito variaría de 0 a 9 (diez veces). Y cada variación se reproduce 3 veces (una por cada dígito)

Pero para cada dígito hay restricciones y la cuenta anterior debe hacerse teniendo en cuenta las cuentas de las variaciones de cada dígito.

Primer dígito: Los códigos que empiezan con cero o uno deben excluirse, esto implica que el primer digito variará de 2 a 9, es decir que cuenta 8 variaciones (imaginar un 8 en la caja y debajo los valores de 2 a 9)

Segundo dígito: Los códigos de área posibles con 1 o 0 en el segundo digito, implica que en el segundo dígito irán solo dos valores 0 y 1, es decir que cuenta 2 variaciones (imaginar un 2 en la caja del segundo digito y debajo los valores 0 y 1)

Tercer dígito: Se excluyen los códigos terminados en 00 y 11 implica un poco más de restricciones.  O sea que cuando el dígito anterior este en 0 este dígito variará 9 veces entre 1 y 9, luego, cuando el dígito anterior esté en 1, este dígito variará de nuevo 9 veces pero entre 0 y 2 al 8 sin el uno. Todo esto para cumplir la restricción. En esta forma hay que este digito variará 9 veces cada vez que los anteriores lleguen a donde tengan que llegar cada uno en su cuenta.

El resultado de estas restricciones da esta multiplicación = (8x2x8)+16

Otra forma de imaginar el dígito tres: Consiste en hacer variar el tercer dígito una cuenta de 8 desde el 2 hasta el 9 sin que valga 0 ni uno. Después habría que sumarle:

· una cuenta de 8 por cada variación del primer dígito (8) cada vez que el segundo dígito valga 0 y el tercer dígito valga 1. (Imaginar esto en la regla de las cajas)

· una cuenta más de 8 por cada variación del primer dígito (8) por cada vez que el segundo dígito valga 1 y el tercer dígito valga 0. (Imaginar esto en la regla de las cajas)

En cualquier caso el resultado es 144

Huevos rotos. Una caja contiene 12 huevos, 3 de los cuales están rotos. Si seleccionamos al azar 5 de los huevos para cocerlos, ¿cuál es la probabilidad de los siguientes sucesos?

a. Todos los huevos seleccionados están rotos.

b. Ninguno de los huevos seleccionados está roto.

c. Dos de los huevos seleccionados están rotos.

Respuestas:

a. Si hay solo 3 huevos rotos la probabilidad de que seleccionar 5 es cero.

b. La probabilidad de que ninguno de los huevos esté roto:

a. Sucesos favorables: Son todas las combinaciones de 9 elementos tomados de a 5.  No importa el orden.

i. C(9,5) = 9! /5!4! = 126

b. Sucesos posibles: Son todas las combinaciones de 12 elementos tomados de a 5. V(12,5)=12!/5!7! = 792

c. La Probabilidad es el numero de casos favorables sobre el numero de casos posibles: 1/6

c. La probabilidad de dos huevos estén rotos:

a. Sucesos favorables: Variantes de 5 huevos dónde dos estén rotos.

i. Comb(5,2) = 5! /2!3! = 252

b. Sucesos posibles: Variaciones de 12 huevos tomados de a cinco.

i. V(12, 2) = 12!/10! = 12x11 = 792

Torneo de básquetbol de la NCAA.  Cada año, 64 equipos universitarios de básquetbol compiten en el torneo de la NCAA. Recientemente, Sandbox.com ofreció un premio de $10 millones a cualquiera que pudiera escoger al ganador en todos y cada uno de los juegos del torneo. El presidente de esa compañía también prometió que, además del premio en efectivo, él se comería una cubeta de gusanos. ¡Qué asco!

a. ¿Cuántos juegos se requieren para obtener un equipo campeón en un campo de 64 equipos?

a. Si el torneo es por puntos todos contra todos

b. Si el torneo es por eliminación directa.

b. Si alguien hace conjeturas al azar para cada juego del torneo, calcule la probabilidad de escoger al ganador de cada juego.

c. En un artículo acerca del premio de $10 millones, el New York Times publicó que “aún un experto en básquetbol colegial que pudiera escoger juegos con acierto en una porción del 70% tiene una probabilidad de 1 en de elegir todos los juegos acertadamente”. Llene el espacio.

a. Existen dos variantes. La primera es casi impracticable, la segunda es más factible y a que consideramos para analizar, veamos a continuación las dos:

a. Si es por puntos: Para 64 equipos que juegan en cada partido dos y no importa el orden. Por lo tanto, se trata de combinaciones de 64 equipos tomados de a dos. Por ejemplo, para 4 equipos el resultado es 6. Y para 64, C(64,2) = 64! / 2! 62! = 2016

b. Si es por eliminación directa: Para eliminar a 63 equipos, se necesitan 63 juegos. Esto es porque cada juego elimina exactamente a un equipo, y se necesitan n−1 juegos para reducir n equipos a un solo equipo (el campeón). Podemos verificar esto viendo cómo se desarrolla un torneo de eliminación directa: En la primera ronda, hay 64 equipos, lo que resulta en 32 juegos (32 equipos eliminados). En la segunda ronda, quedan 32 equipos, lo que resulta en 16 juegos (16 equipos eliminados). En la tercera ronda, quedan 16 equipos, lo que resulta en 8 juegos (8 equipos eliminados). En la cuarta ronda, quedan 8 equipos, lo que resulta en 4 juegos (4 equipos eliminados). En la quinta ronda, quedan 4 equipos, lo que resulta en 2 juegos (2 equipos eliminados). En la sexta ronda, quedan 2 equipos, lo que resulta en 1 juego (1 equipo eliminado, y el otro es el campeón). Sumando el número de juegos en cada ronda: 32+16+8+4+2+1=63

b. Si alguien hace conjeturas al azar para cada juego del torneo, calcule la probabilidad de escoger al ganador de cada juego. Consideremos que la probabilidad de acertar al ganador en un de los 63 juegos es ½. Por lo tanto, la probabilidad de acertar al ganador en todos los juegos es (½) elevado a la 63 = ½ x ½ x ½ x…. sesenta y tres veces.

Cajero automático. Usted quiere obtener dinero en efectivo en un cajero automático, pero está oscuro y no puede ver su tarjeta cuando la inserta. La tarjeta debe insertarse con la parte frontal hacia arriba y de manera que el inicio de su nombre ingrese primero.

a. ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar una posición aleatoria e insertar la tarjeta correctamente?

b. ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar al azar la posición de la tarjeta y descubrir que la insertó incorrectamente en el primer intento, pero que la insertó correctamente en el segundo intento?

c. ¿Cuántas selecciones aleatorias se requieren para estar completamente seguro de que la tarjeta funciona bien porque se insertó correctamente?

a. Hay cuatro formas posibles de insertar la tarjeta. La probabilidad de insertar la tarjeta correctamente es ¼.

b. P(B) = Se insertó incorrectamente en el primer intento. = ¾. P(A) = Se insertó correctamente = ¼. P(A y B) = ¼ / ¾ = 1/3

c. 4 son las formas posibles de insertar la tarjeta.

Lotería de California. En el juego de lotería Super Lotto Plus de California, ganar el premio mayor requiere que usted seleccione los cinco números correctos del 1 al 47, inclusive, y que, por separado, también seleccione un solo número correcto entre 1 y 27, inclusive. Calcule la probabilidad de ganar el premio mayor.

Las probabilidades de ganar el premio mayor están dadas por dos factores.

a. El primer factor es la combinación de 47 números tomados de a cinco sin repetición. C(47,5) = 47! / 5! 42! =47x46 / 5x4x3x2 = 1533939. La probabilidad de acertar este factor es 1/1533939

b. El segundo factor es acertar uno de 27 números. La probabilidad de acertar este factor es 1/27

c. El producto de ambos factores da como resultado la probabilidad final, y es igual a: 1/41416353

4-7 MÁS ALLÁ DE LO BÁSICO

Cálculo del número de nombres de variables de cómputo. Una regla común de programación de computadoras es que los nombres de las variables deben tener una longitud de 1 a 8 caracteres. El primer carácter puede ser cualquiera de las 26 letras, mientras que los caracteres sucesivos pueden ser cualquiera de las 26 letras o cualquiera de los 10 dígitos. Por ejemplo, A, BBB y M3477K son nombres permitidos de variables. ¿Cuántos nombres de variables diferentes son posibles?

El primer carácter cuenta 26 alternativas posibles,

El segundo carácter cuenta 36 alternativas posibles

El tercer, cuarto, quinto, sexto, séptimo y octavo cuentan 36 alternativas.

La cantidad de alternativas es: 26x36x36x36x36x36x36x36 = 26 por 36 elevado a la 7 = 2037468266496

Entonces la cantidad de nombres con 1 a 8 caracteres se suman y da igual a: 2095681645538

Saludos y mesas redondas

a. Cinco gerentes se reúnen para una junta. Si cada gerente saluda estrechando la mano a cada uno de los otros gerentes exactamente una vez, ¿cuál es el número total de saludos?

b. Si n gerentes saludan a cada uno de los otros exactamente una vez, ¿cuál es el nú- mero total de saludos?

c. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden sentar cinco gerentes en torno a una mesa redonda? (Suponga que si cada uno se mueve a la derecha el acomodo es el mismo).

d. ¿De cuántas formas diferentes se pueden sentar n gerentes en torno a una mesa redonda?

a. Es una combinación de 5 elementos tomados de a dos.

a. Verificación por conteo directo. Para asegurarnos, podemos listar los saludos:

a. Gerente A saluda a B, C, D, E (4 saludos).

b. Gerente B saluda a C, D, E (3 saludos, ya ha saludado a A).

c. Gerente C saluda a D, E (2 saludos, ya ha saludado a A y B).

d. Gerente D saluda a E (1 saludo, ya ha saludado a A, B y C).

e. Sumando estos saludos:  4+3+2+1=10

b. Son n-1 saludos es decir 5-1 saludos = 4 saludos cada uno.

c. Para n personas sentadas en una mesa redonda, el número de arreglos distintos se puede calcular utilizando la fórmula: (n−1)!

a. Esto se debe a que en una disposición circular, una permutación completa de n elementos puede considerarse como n permutaciones lineales equivalentes debido a la simetría circular. Fijamos una persona en una posición, y permutamos las restantes

Evaluación de factoriales grandes.

a. Usted ha sido contratado para visitar la capital de cada una de las 50 entidades de Estados Unidos. ¿Cuántas rutas diferentes son posibles? Evalúe la respuesta usando la tecla factorial de una calculadora y también usando la aproximación dada aquí.

b. El Bureau of Fisheries una vez pidió ayuda a los Laboratorios Bell con el fin de encontrar la ruta más corta para obtener muestras en 300 emplazamientos del Golfo de México. Si usted calcula el número de posibles rutas diferentes, ¿cuántos dígitos se necesitan para escribir el número?

a. La respuesta es 50! = 30414093201713378043612608166064768844377641568960512000000000000

b. La respuesta es 300! = 306057512216440636035370461297268629388588804173576999416776741259476533176716867465515291422477573349939147888701726368864263907759003154226842927906974559841225476930271954604008012215776252176854255965356903506788725264321896264299365204576448830388909753943489625436053225980776521270822437639449120128678675368305712293681943649956460498166450227716500185176546469340112226034729724066333258583506870150169794168850353752137554910289126407157154830282284937952636580145235233156936482233436799254594095276820608062232812387383880817049600000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

c. Para calcular la longitud en dígitos de un número grande, podemos usar la fórmula:

a. d=⌊log10​(n)⌋+1 Los resultados son 30! Tiene 64 dígitos y 300! Tiene 614

d. Pero mejor calcularlos contando los caracteres del resultado de las factoriales. Los resutlados son para 30! 65 dígitos y para 300! son 615 dígitos. Esta segunda opción tiene mayor precisión.

Inteligencia artificial. ¿Las computadoras pueden “pensar”? De acuerdo con la prueba Turing, se considera que una computadora piensa si, cuando una persona se comunica con ella, cree que se está comunicando con otra persona y no con una computadora. En un experimento en el museo de computadoras de Boston, cada uno de 10 jueces se comunicó con cuatro computadoras y cuatro personas; luego se les pidió que distinguieran entre unas y otras.

a. Suponga que el primer juez no puede distinguir entre las cuatro computadoras y las cuatro personas. Si este juez hace conjeturas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que identifique correctamente las cuatro computadoras y las cuatro personas?

Existen 2 opciones (computadora o persona), lo que resulta en un total de 2^8 = 256 posibilidades. De estas posibilidades, solo una es correcta: identificar correctamente las 4 computadoras y las 4 personas.

Probabilidad de éxito: La probabilidad de que el juez acierte las 4 conjeturas al azar es de 1 posibilidad entre 256, lo que se traduce en: Probabilidad = 1 / 256 = 0.00390625

b. Suponga que ninguno de los 10 jueces puede distinguir entre las computadoras y las personas, por lo que hacen conjeturas al azar. Con base en el resultado del inciso a), ¿cuál es la probabilidad de que los 10 jueces acierten en todas sus conjeturas? (Este suceso nos permitiría concluir que las computadoras no pueden “pensar” cuando, de acuerdo con la prueba Turing, sí pueden).

Dado que los jueces actúan de forma independiente, la probabilidad de que todos acierten sus conjeturas es el producto de las probabilidades individuales: Probabilidad (10 jueces acierten) = (0.00390625)^10 ≈ 6.05 x 10^(-24)

Si se observara que sí ocurre este evento de que todos los jueces aciertan en la identificación, sería altamente improbable atribuirlo al azar. Esto podría considerarse como una fuerte evidencia a favor de la capacidad de las computadoras para "pensar" o exhibir un comportamiento inteligente similar al humano, contradiciendo la conclusión de la prueba de Turing en este caso específico.

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