Conteo y espacio muetral

Regla fundamental de conteo

Para una secuencia de dos sucesos en la que el primero puede ocurrir de m formas y el segundo puede ocurrir de n formas, los sucesos juntos pueden ocurrir un total de m por n formas.

Ejemplo de robo de identidad  Es aconsejable no revelar los números del seguro social, ya que a menudo los criminales los utilizan para robar la identidad y disponer del dinero de otras personas. Suponga que descubre que un criminal está utilizando su número de seguro social, quien asegura que ge- neró los números de manera aleatoria. ¿Cuál es la probabilidad de obtener su número de seguro social al generar aleatoriamente

nueve dígitos? ¿Es probable que lo que afirma el criminal sea verdad?

Cada uno de los 9 dígitos tiene 10 resultados posibles: 0, 1, 2, . . . , 9. Si aplicamos la regla fundamental de conteo, obtenemos: 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 =  1,000,000,000

Sólo una de las 1,000,000,000 posibilidades corresponden a su número de seguro social, de manera que la probabilidad de generar al azar un número de seguridad social y obtener el suyo es de 1/1,000,000,000. Es extremadamente improbable que un criminal genere su número de seguro social al azar, suponiendo que sólo genera uno. (Incluso si el criminal pudiera generar miles de números del seguro social y tratara de utilizarlos, es muy poco probable que generara el suyo). Si se descubre que alguien estáutilizando su númerode seguro social,lo más probable es que lo haya obtenido por algún otro medio, como espiando transacciones en Internet o buscando en su correo o en la basura.

Interpretación de la regla fundamental del conteo

Esta recla se aplica frecuentemente en variaciones con repetición dónde el orden no importa.

Regla de las cajas

La regla fundamental se puede entender en su aplicación con las reglas de las cajas. En una caja ponemos las m opciones y en la otra caja ponemos las n opciones. 

Por ejemplo en cada uno de los 10 dígitos de una combinación, ponemos una caja. En cada caja los numeros pueden variar del 0 al 9 y por lo tanto el resultado es 10 elevado a la décima potencia. Es decir 1.000.000.

Regla factorial

Una colección de n elementos distintos se puede acomodar de n! diferentes maneras. (Esta regla factorial refleja el hecho de que el primer elemento se puede seleccionar de n maneras distintas, el segundo se puede seleccionar de n - 1 maneras, y así sucesivamente). De acuerdo con la regla factorial, n diferentes elementos pueden acomodarse de n! diferentes maneras.

Ejemplos Rutas de atracciones: Usted está planeando un viaje a Disney World y desea disfrutar de las siguientes cinco atracciones el primer día: Space Mountain, Tower of Terror, Rock ‘n’ Roller Coaster, Mission Space y Dinosaur. A veces las atracciones requieren largos periodos de espera que varían en el

transcurso del día, de manera que la planeación de una ruta eficiente permite aumentar al máximo la diversión. ¿Cuántas rutas diferentes posibles existen? 

Si aplicamos las regla factorial, sabemos que 5 atracciones diferentes se pueden ordenar de 5! maneras distintas. El número de rutas diferentes es 5! =5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120.