Distribución de Poisson

Distribución de Poisson

La distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta que modela el número de eventos que ocurren en un intervalo de tiempo o espacio fijo, bajo las siguientes condiciones:

• Los eventos ocurren de manera independiente.

• La tasa promedio (media) de ocurrencia de los eventos es constante.

• Dos eventos no pueden ocurrir al mismo tiempo exacto (en un intervalo infinitesimalmente pequeño).

P(X) = λ^k e^−λ / k!

donde:

• x es la cantidad de eventos cuya probabilidad deseamos calcular.

• λ es la tasa media de ocurrencia de eventos.

• k es el numero de eventos observados.

• e es la base de los logaritmos naturales (2.71828...)

Requisitos

La distribución de Poisson es una distribución discreta que cuenta el número de eventos que ocurren en un intervalo fijo de tiempo o espacio, bajo ciertas condiciones (independencia de los eventos, tasa constante de ocurrencia, etc.).

La variable aleatoria x es el número de veces que ocurre un suceso durante un intervalo.

●  Las ocurrencias deben ser aleatorias.

●  Las ocurrencias deben ser independientes entre sí.

●  Las ocurrencias deben estar uniformemente distribuidas dentro del intervalo empleado.

Parámetros o Propiedades

Media: μ=λ

Varianza: σ^2=λ

Ejemplo:

Supongamos que el número de llamadas que recibe una central telefónica en una hora sigue una distribución de Poisson con una tasa media de 5 llamadas por hora (λ=5).

Calcular la probabilidad de recibir exactamente 3 llamadas en una hora:

P(3) = 5^3  e^-5 / 3!

P(3) = 125 e^-5 / 6

P(3) = 125 0.0067 / 6

P(3) ≈0.1396

13.96%

Interpretación:

La probabilidad de recibir exactamente 3 llamadas en una hora es aproximadamente 13.96%.

Relación con la Distribución Exponencial

La distribución de Poisson difiere de una distribución binomial en estas formas fundamentales:

1. La distribución binomial es afectada por el tamaño de la muestra n y la probabilidad p, mientras que la distribución de Poisson sólo se ve afectada por la media m.

2. En una distribución binomial, los valores posibles de la variable aleatoria x son 0, 1, . . . , n, pero los valores posibles x de una distribución de Poisson son 0, 1, 2, . . . , sin límite superior.

Relación con la Distribución Exponencial

La distribución exponencial es una distribución continua que modela el tiempo entre eventos en un proceso de Poisson.

• Distribución Exponencial:Definición: Modela el tiempo entre dos eventos consecutivos en un proceso de Poisson.
  Fórmula: f(t)= λ e−λt donde t es el tiempo entre eventos y λ es la tasa de ocurrencia de los eventos.

Aplicaciones y uso:

La distribución de Poisson se usa en situaciones donde queremos modelar la ocurrencia de eventos discretos en un intervalo de tiempo o espacio continuo. Algunos ejemplos típicos incluyen:

1. Modelos de tráfico:

Se utiliza para predecir la cantidad de vehículos que pasarán por un punto determinado en un intervalo de tiempo específico, considerando factores como la hora del día, el día de la semana y eventos especiales. Esto ayuda a las autoridades a optimizar la señalización, la gestión del tráfico y la planificación de obras viales.

2. Análisis de llamadas telefónicas en centros de atención:

Permite determinar la cantidad de operadores telefónicos que se necesitan en un centro de atención al cliente en un momento dado, en función del promedio de llamadas que se reciben por hora. Esto optimiza la asignación de recursos y mejora la atención al cliente.

3. Modelos de producción industrial:

Se utiliza para monitorear la cantidad de defectos en productos manufacturados. Al comparar el número real de defectos con el esperado según la distribución de Poisson, se pueden identificar posibles problemas en el proceso de producción y tomar medidas correctivas.

4. Modelos de seguros:

Las compañías de seguros la utilizan para predecir la cantidad de reclamos que recibirán en un período determinado, considerando factores como el tipo de seguro, la zona geográfica y el historial de reclamos. Esto les permite establecer primas y reservas adecuadas.

5. Epidemiología:

Se utiliza para analizar la incidencia de enfermedades contagiosas, como la gripe o el COVID-19, en un período determinado y en una zona específica. Esto ayuda a las autoridades sanitarias a tomar medidas de prevención y control de epidemias.

6. Marketing y ventas:

Permite evaluar el impacto de campañas publicitarias en función del número de visitas a un sitio web, llamadas a un número de teléfono o compras realizadas. Esto ayuda a optimizar las estrategias de marketing y mejorar el retorno de la inversión.

7. Gestión de inventarios:

Se utiliza para determinar la cantidad óptima de productos que un negocio debe tener en stock para evitar rupturas de stock o exceso de inventario. Esto reduce costos y mejora la eficiencia de la cadena de suministro.

8. Tiempos de espera en filas: Se utiliza para predecir el tiempo promedio de espera que un cliente debe esperar en una fila, como en un banco o un supermercado. Esto ayuda a mejorar la experiencia del cliente y optimizar la gestión de filas.

9. Análisis de redes sociales:

Se utiliza para analizar el número de publicaciones, comentarios, "me gusta" o retuits que recibe una cuenta en un período determinado. Esto ayuda a las empresas y organizaciones a comprender mejor el comportamiento de su audiencia y mejorar sus estrategias de marketing en redes sociales.

10. Modelos de fenómenos naturales:

Se utiliza para analizar la frecuencia de terremotos en una región específica. Aunque no predice con exactitud cuándo ocurrirá un terremoto, ayuda a identificar zonas de mayor riesgo y tomar medidas de prevención.

La distribución de Poisson es adecuada para modelar eventos raros en intervalos pequeños.

No es adecuada si la probabilidad de ocurrencia de eventos varía significativamente dentro del intervalo o si los eventos no son independientes.

Ejemplo de espacios:

Digimos que la distribución de Poisson se puede aplicar a la distribución de eventos en el espacio o en el tiempo. Veamos un ejemplo de la distribución de eventos en el espacio.

Bombas de la Segunda Guerra Mundial  Al analizar los impactos de las bombas V-1 en la Segunda Guerra Mundial, el sur de Londres se subdividió en 576 regiones, cada una con área de 0.25 km2. En total, 535 bombas impactaron el área combinada de 576 regiones.

a.  Si se selecciona al azar una región, calcule la probabilidad de que haya sido impactada exactamente en dos ocasiones.

Sabemos que por definición:Media: 

μ=λ. 

Entonces μ = impactos de bomba / cantidad de regiones

μ =535/576 = 0,929

b.  Con base en la probabilidad calculada en el inciso a), ¿cuántas de las 576 regiones se esperaría que fueran impactadas exactamente dos veces?

P(X) = λ^k e^−λ / k!

P(1) =0,929^1 e^−0,929 / 1!

P(1) = (e^(-0.929) * 0.929^1) / 1!  ≈ 0.397

y luego para k=2

P(X) = λ^k e^−λ / k!

P(2) =(e^(-0.929) * 0.929^2) / 2!

P(2) ≈ 0.276

Interpretación del resultado:

• La probabilidad de que ocurran 2 eventos en el intervalo fijo es de aproximadamente 0,276.

• En otras palabras, hay un 27,6% de posibilidades de que ocurran 2 eventos en el intervalo especificado.

4. Comparación con P(1):

• Se observa que P(2) es menor que P(1). Esto es coherente con la intuición, ya que es menos probable que ocurran 2 eventos que 1 evento en el mismo intervalo.

5. Consideraciones adicionales:

• Como en el caso anterior, la precisión del resultado depende del supuesto de que el intervalo fijo es 1. Si el intervalo fijo es diferente, la tasa promedio de eventos (λ) y las probabilidades P(1) y P(2) también cambiarán.