Distribución Geométrica

La distribución discreta de probabilidad geométrica modela la probabilidad de necesitar un número específico de intentos (o experimentos) hasta obtener el primer éxito, siempre que cada intento tenga la misma probabilidad de éxito (p) y probabilidad de fracaso (q = 1 - p). Es decir, se trata de una serie de eventos independientes hasta que se produce el evento deseado.

Definición

Formalmente, la función de masa de probabilidad (PMF) de la distribución geométrica para la variable aleatoria X (que representa el número de intentos hasta el primer éxito) se define como:

P(X = k) = P(x)= p(1-p)^((k-1))

donde:

• k es el número de intentos.

• p (entre 0 y 1) representa la probabilidad de éxito en cada intento.

• q (entre 0 y 1) representa la probabilidad de fracaso en cada intento (q = 1 - p).

Propiedades

Media (Esperanza matemática): µ = 1/p

Varianza: σ² = q/p²

Desviación estándar: σ = √(q/p²)

Ejemplo: Componente defectuoso.

Supongamos que la probabilidad de un componente de computadora defectuoso es de 0.2.

Calcule la probabilidad de que el primer defecto se descubra en el séptimo componente probado.

P(X = k) = P(x)= p(1-p)^((k-1))

P(7) = 0,2(0,8)^6 = 0,2 x 0,8 x 0,8 x 0,8 x 0,8 x 0,8 x 0,8 x 0,8

P(7)= 0,2 x 0,262144

P(7)=0,0524288

Al analizar la formula y el ejemplo se puede ver que, como no se tiene en cuenta el tamaño de la muestra, es decir, la muestra es siempre uno y no se considera aquí la ley de los grandes números. En efecto, al ver la formula vemos que:

• cuanto mayor es la probabildad de éxtio, mayor es la probabilidad frente a menos intentos y viceversa.

• para un solo intento, la probabilidad solo por el producto de ambas probabilidades.

• Este modelo nos dice que frente a escases de datos (aquí no tenemos tamaño de población ni de muestra) cada vez es más dificil descubrir algo.

Este ejemplo se encuentra en un jupyter notebook y compartido en github.

Ejemplo: Tiempo hasta la Primera Venta Exitosa

Imaginemos que trabajamos en un equipo de ventas que hace llamadas telefónicas a clientes potenciales.

• La probabilidad de realizar una venta exitosa en cada llamada es del 10%.

• Queremos saber cuántas llamadas es probable que haga un vendedor antes de conseguir su primera venta exitosa.

El gráfico, de la figura correspondiente, resultante muestra la distribución del número de llamadas necesarias para realizar la primera venta exitosa. La PMF teórica (puntos y líneas azules) se compara con el histograma de las simulaciones (barras verdes). Podemos observar que la mayoría de las primeras ventas exitosas se realizan después de unas pocas llamadas, y la probabilidad disminuye a medida que aumenta el número de llamadas.

Este análisis permite a los equipos de ventas entender mejor la probabilidad de éxito en sus esfuerzos y ajustar sus estrategias en consecuencia.

Este ejemplo también está desarrollado en un jupyter notebook y compartido en github.