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Distribución Negativa

P(x ensayos necesarios para obtener un número fijo de éxitos)

Distribución de probabilidad negativa

Distribución de probabilidad negativa

Distribución Binomial Negativa

La distribución binomial negativa es una distribución de probabilidad discreta que modela el número de ensayos necesarios para obtener un número fijo de éxitos en ensayos independientes y con la misma probabilidad de éxito en cada ensayo. 

P(x)= C(x-1),(r-1)) p^r (1-p)^x-r

  • x es el numero de ensayos necesarios

  • p es la probabilidad de éxtito en un solo ensayo.

  • r es el numero total de éxitos que se definen como deseables de obtener.

donde:

  • C(x-1),(r-1))  es el coeficiente binomial, que representa el número de formas de elegir r−1 éxitos en los primeros x−1 ensayos. En otras palabras, son las cobinaciones de x-1 ensayos tomados de a r-1 éxitos.

  • p^r es la probabiliad de obtener r éxitos

  • (1-p)^x-1 es la probabilidad de obtener x-r fracasos

Propiedades:

Media: μ=r/p

Varianza: σ^2=r(1−p)/p^2

Ejemplo:

Supongamos que estamos lanzando un dado y queremos saber cuántos lanzamientos necesitamos para obtener el tercer 6, es decir:

  • x = 6

  • r = 3

  • p=1/6

.P(6)= C(6-1),(3-1))  (1/6)^3  (1-1/6)^6-3

P(6)= C(5,2))  (1/6)^3  (5/6)^3

P(6)= 10 (1/ 216)  (125/216)

P(6)≈0.0268

Interpretación:

La probabilidad de obtener el tercer 6 exactamente en el sexto lanzamiento es aproximadamente 0.0268 o 2.68%.


Aplicación y uso:

La distribución binomial negativa tiene diversas aplicaciones en la vida real, especialmente en situaciones donde se modela el número de fracasos antes de alcanzar un número fijo de éxitos.

La distribución binomial negativa es útil cuando:

  • Se busca modelar el número de ensayos necesarios para alcanzar un número fijo de éxitos.

  • Se trabaja con ensayos independientes con la misma probabilidad de éxito.

  • Se analiza datos de conteo donde se desea observar eventos hasta un cierto número de éxitos.

1. Control de Calidad en Manufactura

En el control de calidad, la distribución binomial negativa se utiliza para modelar el número de productos defectuosos antes de encontrar un cierto número de productos no defectuosos. Por ejemplo, una empresa puede querer saber cuántos productos necesita inspeccionar antes de encontrar 5 productos defectuosos. Esto ayuda a evaluar la calidad de los productos y a mejorar los procesos de producción.

2. Seguros y Finanzas

En el campo de los seguros y las finanzas, la distribución binomial negativa puede modelar la frecuencia de reclamaciones antes de alcanzar un determinado nivel de pago. Por ejemplo, una compañía de seguros puede usar esta distribución para estimar el número de reclamaciones que ocurrirán antes de pagar una cantidad específica en siniestros.

3. Modelado de Conteo de Eventos en Epidemiología

En epidemiología, la distribución binomial negativa se usa para modelar el número de personas que deben ser examinadas antes de encontrar un cierto número de casos positivos de una enfermedad. Este modelo es útil para diseñar estrategias de muestreo y control de brotes.

4. Análisis de Redes Sociales y Marketing Digital

En el análisis de redes sociales y marketing digital, la distribución binomial negativa se puede utilizar para modelar el número de interacciones (como clics o comparticiones) antes de alcanzar un determinado número de conversiones (como ventas o registros). Esto ayuda a los especialistas en marketing a optimizar sus campañas y a predecir el comportamiento del usuario.

5. Investigación Médica y Ensayos Clínicos

En la investigación médica, la distribución binomial negativa se puede aplicar para modelar el número de ensayos necesarios antes de obtener un cierto número de éxitos (por ejemplo, pacientes que responden positivamente a un tratamiento). Esto es útil para planificar y analizar ensayos clínicos.

6. Ingeniería de Software y Pruebas de Software

En la ingeniería de software, la distribución binomial negativa se utiliza para modelar el número de pruebas necesarias antes de encontrar un cierto número de errores o fallos. Esto es útil para planificar el proceso de pruebas y mejorar la calidad del software.


Comparación con Binomial

  • Binomial: Modela el número de éxitos en un número fijo de ensayos.

  • Binomial Negativa: Modela el número de ensayos necesarios para obtener un número fijo de éxitos.

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