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Distribución Normal

Distribución Normal Estandard, No Estandard y Acumulada

Distribución Normal Estandard

Distribución Normal Estandard

Distribución Normal Estandard

La distribución normal estándar es una distribución normal de probabilidad con µ = 0 y 𝞂 =  1, y el área total debajo de su curva de densidad es igual a 1.

µ = 0  a este valor le corresponde la probabilidad más alta. 40% aproximadamente en la distribución estandard.


Formula y forma de una distribución normal

La fórmula de la distribución normal es la siguiente:

f(x) = exp((-x2/2)/√2π

Y la forma que resulta de esta fórmula es una campana como la campana.

Ambas cosas se pueden ver en la figura.


Estadísticos

  • µ = 0

  • 𝞂 =  1

Cambios en la forma de la disribución en función de los estadísticos µ y 𝞂

Una distribución normal puede tener muchas formas y puede no estar centrada en cero. Es decir que hay muchas formas de la distribución normal además de la distribución normal estandard.

Es correcto pensar que la distribuicón varía en función de los valores de x. 

Ejemplo Estatura:

Si tomamos el caso de la variación de las estaturas de las personas y separamos los mismos en las estaturas de las mujeres y los hombres, puede verse que ambos géneros tienen una distribución distinta, (ver figura)

1. En el caso de las damas:

  • La media de las mujeres es menor (son mas bajas) que la de los caballeros

    • por eso la curva esta a la izquierda de la de los hombres que son más altos en promedio.

  • La desviación es menor que la de los caballeros.

    • las estaturas de las mujeres varían menos que los de los caballeros.

2. En el caso de los caballeros:

  • El razonamiento es justamente al reves que en el caso de las damas.

    • Los hombres tienen una media mayor (en promedio son más pesados que las mujeres.

      • La curva está más a la derecha.

    • Los hombres tiene una desviación mayor (pesos más dispersos) que las mujeres.

      • La curva es más baja y ancha.

En definitiva:

  1. Cuanto mayor es la media, la curva se ubica más hacia la derecha de la estandard. Y viceversa.

  2. Cuanto mayor es el desvío estandard la curva se hace más baja y ancha. Y viceversa.

Ejemplo Temperatura:

Supongamos que controlamos la calidad de los termometros que se producen en una fabrica y para ello tomamos muestras de los termometros, los colocamos a temperatura igual a cero grados absolutos y vemos que temperatura indica.

En este ejemplo es de esperar que la mayoría de los termometros midan bien, cero grados, algunos de ellos mediran menos de cero grados y otros medirán más de cero grados.

Al realizar sucesivas muestras vemos que es así y observamos también que las muestras se conforman con una distribución normal tipo estandard, es decir, con media igual a cero y distribución estandard igual a uno.

Que esta distribución sea así significa que, por la regla practica  del intervalo, el 95% de los termómetros fabricados medirán bien o a lo sumo con un error de entre -2 y 2 grados centigrados. Es más podemos esperar que el 68% de los termometros midan bien o a lo sumo entre -1 y 1 grado.

Este ejemplo ha sido desarrollado en un jupiter notebook en python en ddonde se hacen calculos y se grafican los resultados del análisis junto con sus interpretaciones. Esto está en github.


Cambios en la forma de la distribución en función de los valores observados

No es lo mismo observar las variaciones de un termometro por encima y por debajo de cero que la diversidad de los pesos o las alturas de la personas. 

  • En el primer caso las temperaturas tendrán una distribución centrada en cero mientras que en las alturas, la distribución estará centrada en algún valor mayor que cero.

  • En el caso de las estaturas de las mujeres, la distribución está centrada en 63.6, mientras que en las estaturas de los hombres, la media es un poco más alta.

Usos y aplicaciones

La distribución de probabilidad normal, también conocida como distribución gaussiana, es una de las más importantes en estadística debido a sus propiedades y a la frecuencia con la que aparece en fenómenos naturales y procesos sociales. Aquí te presento algunos de los usos y aplicaciones actuales de estudios estadísticos que emplean la distribución normal, junto con ejemplos reales:


1. **Evaluación del Rendimiento Académico**

   - **Evaluaciones:** Las pruebas estandarizadas, como el SAT en Estados Unidos, asumen que las puntuaciones de los estudiantes se distribuyen normalmente. Esto permite comparar fácilmente el rendimiento de un estudiante con el de la población general.


2. **Control de Calidad en Manufactura**

   - **QoP:** En la producción de piezas de maquinaria, las dimensiones de las piezas suelen seguir una distribución normal. Los ingenieros de calidad utilizan esta propiedad para establecer límites de tolerancia y detectar desviaciones del proceso de producción.

   - **Evaluación de Desempeño de Máquinas:** En la industria de la tecnología, el tiempo de funcionamiento hasta fallo (MTBF) de componentes de hardware, como discos duros, se modela usando la distribución normal para estimar su fiabilidad y planificar el mantenimiento preventivo.


3. **Finanzas y Economía**

   - **Ejemplo:** Los retornos de acciones y otros activos financieros se asumen a menudo que siguen una distribución normal en modelos de precios de activos como el modelo de Black-Scholes para opciones. Esto ayuda a estimar la probabilidad de diferentes niveles de retorno y gestionar el riesgo.


4. **Medicina y Biología**

   - **Bioestadística* Los estudios de bioestadística frecuentemente asumen que variables biológicas, como la presión arterial o los niveles de colesterol, se distribuyen normalmente en la población. Esto facilita la evaluación de si un tratamiento tiene un efecto significativo al comparar grupos de pacientes.

   - **COVID-19 y Salud Pública:** La distribución normal se utiliza para modelar la variabilidad en el tiempo de incubación del COVID-19. Esto ayuda a los epidemiólogos a diseñar estrategias de cuarentena y a predecir la propagación del virus.


5. **Psicología y Ciencias Sociales**

   - **IQ o CI:** Las puntuaciones en pruebas de personalidad y de inteligencia (como el IQ) suelen modelarse con una distribución normal. Esto permite la creación de percentiles y comparaciones entre individuos y grupos.


6. **Evaluación de Riesgos Climáticos**

   - **Ejemplo:** Los modelos climáticos utilizan distribuciones normales para estimar la variabilidad natural de variables como la temperatura y las precipitaciones. Esto ayuda a prever cambios climáticos y a desarrollar políticas de mitigación y adaptación.


7. **A/B Testing en Marketing Digital**

   - **Ejemplo:** Las empresas tecnológicas, como Google o Facebook, realizan experimentos A/B para comparar el rendimiento de diferentes versiones de sus productos. Los resultados de estos experimentos a menudo se asumen distribuidos normalmente, permitiendo el uso de pruebas estadísticas para determinar cuál versión es mejor.


La distribución normal es una herramienta fundamental en la estadística moderna, aplicada en múltiples campos para interpretar datos, hacer predicciones y tomar decisiones informadas.


Referencias:

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