El intervalo de confianza esta relacionado con el error y el tamaño de la muestra como se ve al introducirse en el tema.

Pero además existe un factor de corrección de estos indicadores para poblaciones finitas como puede verse a continuación.

Estimación de medias:

Error de confianza con factor de corrección por población finita. 

El error estándar de la media es 𝞂/√n, siempre y cuando el tamaño de la población sea infinito. Si el tamaño de la población es finito y se denota como N, entonces el factor de corrección es:

√(N-n)/N-1)) 

y debe usarse siempre y cuando n >  0.05N. 

Este factor de corrección multiplica el margen de error E dado, de manera que el margen de error es como se indica en la formula de la figura.

Tamaño muestral con factor de corrección por población finita. 

Si tenemos una población relativamente pequeña y hacemos el muestreo sin reemplazo, debemos modificar E para incluir un factor de corrección por población finita, para que el margen de error sea como el que se indica en la figura, donde N es el tamaño de la po- blación. En esta expresión del margen de error se despeja n para obtener

Estimación de proporciones:

Error de confianza con factor de corrección por población finita. 

Para poblaciones finitas este estimado está afectado por el factor de corrección: √(N-n)/N-1)) 

Tamaño muestral con factor de corrección por población finita. 

Para poblaciones finitas este estimado está afectado por el factor de corrección: √(N-n)/N-1)) 

Las formulas pueden verse en la figura.

Ejemplo

Supongamos que un investigador quiere estimar la media de las puntuaciones de un examen de una escuela con 500 estudiantes. El investigador toma una muestra aleatoria de 50 estudiantes y encuentra una media muestral (Xˉ) de 70 puntos con una desviación estándar muestral (σ) de 10 puntos. Desea construir un intervalo de confianza del 95% para la media de las puntuaciones del examen.

Se desarrolla este ejemplo en python en un jupyter notebook que se comparte en github.

Interpretación del Resultado

1. Intervalo de Confianza del 95%:
   Según el cálculo, el intervalo de confianza del 95% para la media de las puntuaciones del examen en la población es aproximadamente (67.26, 72.74) puntos.
   Esto significa que estamos 95% seguros de que la verdadera media de las puntuaciones del examen en la población de 500 estudiantes está entre 67.26 y 72.74 puntos.

2. Representación Gráfica:
   La curva azul representa la distribución normal ajustada a los datos de la muestra.
   Las líneas rojas discontinuas indican los límites inferior y superior del intervalo de confianza.
   La línea verde representa la media muestral.

Este ejemplo ilustra cómo ajustar los cálculos de intervalo de confianza para una población finita, proporcionando una estimación más precisa del parámetro poblacional.