Probable y Posible
Cuestiones a Considerar. Conceptos. Problemas. Ejemplos.
Reglas de probabilidad
Interpretación de probabilidad. ¿Qué significa cuando decimos que “la probabilidad de ganar el Gran Premio de la lotería de Illinois es 1/20358520? ¿Un triunfo como éste es infrecuente?
· Significa que la probabilidad de ganar el gran premio es extremadamente baja, tan baja que podría considerarse como un suceso infrecuente.
· Por lo tanto podemos decir que se trata de un suceso infrecuente.
Probabilidadde lluvia. Alhablar acerca de la probabilidad de que lluevaen Boston el 4 de julio del próximo año, el reportero de un periódico afirma que la probabilidad es de 1/2, ya que lloverá o no lloverá. ¿Este razonamiento es correcto? ¿Por qué?
· En ausencia de información estadística puede decirse que la probabilidad de que llueva o que no es absolutamente desconocida, por lo que podría asumirse que es tan probable que llueva como que no.
Probabilidad y sucesos infrecuentes. Un reportero de noticias afirma que un suceso particular es infrecuente porque su probabilidad es de sólo 0.001. ¿Es correcta esta afirmación? ¿Por qué?
· Si se trata de un suceso infrecuente porque puede suceder 1/1000 veces y esta es una probabilidad muy baja.
Probabilidad subjetiva. Utilice el juicio subjetivo para estimar la probabilidad de que la próxima vez que suba a un elevador, éste se quede atorado entre dos pisos.
· Si se trata de un suceso infrecuente porque en experiencia propia y ajena la probabilidad es muy baja.
Identificación de valores de probabilidad
· “Como estudió a conciencia y comprendió los conceptos, seguramente aprobará el examen de estadística”. Respuesta: 1.
· “El pronóstico de mañana indica un 10% de probabilidad de lluvia”. Respuesta: 0,10
· “Usted tiene la probabilidad de una bola de nieve en el infierno de casarse con mi hija”. Respuesta: 0.
Identificación de valores de probabilidad
a. “Al lanzar una moneda de 25 centavos, existe la probabilidad de 50-50 de que el resultado sea una cara”. Respuesta: 0,5.
b. “Usted tiene una probabilidad en cinco de adivinar la respuesta correcta”. Respuesta: 0,20.
c. “Usted tiene una probabilidad del 1% de tener una cita con la persona que acaba entrar en la habitación”. Respuesta: 0,01.
Identificación de valores de probabilidad. ¿Cuáles de los siguientes valores (si/no) pueden ser probabilidades?
a. 0, 1, -1, 2, 0.0123, 3/5, 3/2
b. Si, Si, No, No, Si, Si, No
Identificación de valores de probabilidad
a. ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra un suceso inevitable? Respuesta: 1.
b. ¿Cuál es la probabilidad de un suceso imposible? Respuesta: 0.
c. Un espacio muestral consiste en 10 sucesos separados que son igualmente probables. ¿Cuál es la probabilidad de cada uno?Respuesta: 0,1.
d. En un examen de verdadero/falso, ¿cuál es la probabilidad de responder una pregunta correctamente si usted elige al azar?Respuesta: 0,5.
e. En un examen de opción múltiple, con cinco posibles respuestas para cada pregunta,¿cuál es la probabilidad de responder una pregunta correctamente si usted elige al azar? Respuesta: 0,2.
Género de los hijos. Una pareja tiene tres hijos. Calcule la probabilidad de cada suceso.
a. De entre tres hijos, hay exactamente una niña. Respuesta: 3/8.
b. De entre tres hijos, hay exactamente dos niñas. Respuesta: 3/8.
c. De entre tres hijos, todos son niñas. Respuesta: 1/8.
Teléfonos celulares y cáncer cerebral. En un estudio de 420095 usuarios de teléfono celular en Dinamarca, se encontró que 135 desarrollaron cáncer cerebral o del sistema nervioso. Estime la probabilidad de que un usuario de teléfono celular seleccionado al azar desarrolle un cáncer deeste tipo. ¿Elresultado es muydiferente de 0.000340, que fue el que se encontró para la población general? ¿Qué sugiere el resultado acerca de los teléfonos celulares como causantes de cáncer de este tipo, como se afirma?
a. 135/420095 = 0,0003213559
b. El resultado sugiere que los teléfonos celulares tienen una probabilidad muy baja o infrecuente de ser causante de cáncer.
Genética mendeliana. Cuando Mendel realizó sus famosos experimentos genéticos con guisantes, una muestra de vástagos consistió en 428 plantas de guisantes verdes y 152 de guisantes amarillos. Con base en esos resultados, estime la probabilidad de obtener un vástago de guisantes verdes. ¿El resultado es lo suficientemente cercano al valor de 3/4 que se espera?
a. 428+152 = 580; 428/580 = 0,7379
b. Si 0,75 es cercano a 0,75
Ser alcanzado por un rayo. En un año reciente, de los 281421906 habitantes de Estados Unidos, 389 fueron alcanzados por un rayo. Calcule la probabilidad de que una persona seleccionada al azar en Estados Unidos sea alcanzada por un rayo este año.
a. 389/281421906 = 0,0000013823
Selección del género. En una prueba de la técnica de selección de género MicroSort, los resultados consistieron en 295 niñas y 30 niños (según datos del Genetics & IVF Institute). A partir de este resultado, ¿cuál es la probabilidad de que una pareja que utiliza el método MicroSort tenga una niña? ¿La técnica parece ser útil para incrementar la probabilidad de que un bebé sea niña?
a. Probabilidad = 295/325
b. Una probabilidad tan alta indica que la técnica parece ser útil para tener un bebé que sea niña.
Reconocimiento de marca
a. En un estudio de reconocimiento de marcas, 831 consumidores conocían la sopa Campbell’s y 18 no (segúndatos de Total ResearchCorporation). Use estosresultados para estimar la probabilidad de que un consumidor seleccionado al azar reconozca la sopa Campbell’s.
a. 849 observaciones en total
b. Probabilidad = 831/849 es una probabilidad altísima de que un consumidor reconozca la sopa.
b. Estime la probabilidad subjetiva de que un consumidor adulto estadounidense, seleccionado al azar, conozca el nombre de la marca McDonald’s, la cadena de restaurantes de comida rápida.
a. McDonald’s es una de las marcas mundiales más reconocidas.
b. La probabilidad de que un adulto estadounidense reconoza la marca es extremadamente alta. (>=90% aprox)
c. Estime la probabilidad subjetiva de que un consumidor adulto estadounidense seleccionado al azar reconozca el nombre de la marca Veeco Instruments, un fabricante de productos de microelectrónica.
a. Veeco Instruments, es una marca de nicho tecnológico y especializado reconocido sólo por ingenieros, técnicos y profesionales que están en el tema.
b. La probabilidad de que un estadounidense al azar parece ser baja (<=25%)
Dulces azules sencillos M&M. En 100 dulces M&M observados se estima la probabilidad de obtener un dulce azul al elegir al azar un dulce M&M sencillo. The Mars Company afirma que el 24% de sus dulces M&M sencillos son azules. Si cada color tiene la misma proporción o probabilidad, ¿Cuántos colores habría en el sobre?
Respuesta= 4.
Botones para el paso de peatones. La ciudad de Nueva York tiene 750 botones para peatones que funcionan y otros 2500 que no funcionan (de acuerdo con datos de “For Exercise in New York Futility, Push Button” por Michael Luo, New York Times). Si se elige un botón para peatones al azar en la ciudad de Nueva York, ¿cuál es la probabilidad de que funcione? ¿Es posible que la misma probabilidad sea un buen estimado para otra ciudad como Chicago?
a. P(750) = 750 / (750+2500) = 0.23
Adivinación de fechas del nacimiento. En su primera cita, Kelly le pide a Mike que adivine su fecha de nacimiento, omitiendo el año. ¿Cuál es la probabilidad de que Mike adivine correctamente? (Ignore los años bisiestos). ¿Sería “infrecuente” que él adivinara con acierto en el primer intento? Si usted fuera Kelly, y Mike adivinara correctamente en su primer intento, ¿creería que él tuvo un golpe de suerte? ¿O tendría la seguridad de que él ya sabía la fecha en que Kelly nació? Si Kelly le pide a Mike que adivine su edad, y la respuesta de Mike es más alta por 15 años, ¿cuál es la probabilidad de que Mike y Kelly tengan una segunda cita?
a. P(A) = 1 / 365 = 0,00273
b. Si, sería infrecuente que él adivinara con acierto en el primer intento.
c. Ni una cosa ni la otra. Pero es más probable que el ya sabía la fecha en que Kelly nació.
d. La probabilidad es tan baja que sería un suceso infrecuente.
Exactitud del IRS. La U.S. General Accounting Office puso a prueba la exactitud de las respuestas del Internal Revenue Service (IRS) con respecto a preguntas sobre los contribuyentes. En 1733 ensayos, el IRS acertó 1107 veces y se equivocó 626. Estime la probabilidad de que una pregunta de un contribuyente seleccionado al azar tenga una respuesta incorrecta. ¿Es infrecuente que el IRS dé una respuesta incorrecta a una pregunta de un contribuyente? ¿Debería ser infrecuente?
a. P(A) = 676 /1107
b. No
c. Si
Probabilidad de un accidente automovilístico. Entre 400 conductores seleccionados al azar, en el rango de edades de 20 a 24 años, 136 sufrieron un accidente automovilístico durante el año anterior (según datos del National Safety Council). Si se selecciona al azar a un conductor en ese rango de edad, ¿cuál es la probabilidad aproximada de que él o ella sufra un accidente automovilístico durante el siguiente año? ¿Es infrecuente que un conductor en ese rango de edad sufra un accidente automovilístico en el transcurso de un año? Será el valor resultante lo bastante alto para preocupar a los individuos entre 20 y 24 años de edad
a. P(A) = 136 /400 = 0,34
b. No es infrecuente.
c. Si. Es preocupante.
Efecto negativo del Lipitor. En una prueba clínica de Lipitor (atorvastatin), un fármaco que se utiliza con frecuencia para disminuir los niveles de colesterol, un grupo de pacientes recibió tratamiento de tabletas de 10 mg del medicamento. En ese grupo, 19 pacientes experimentaron síntomas de resfriado y 844 pacientes no (según datos de Pfizer, Inc.). Estime la probabilidad de que un paciente que tome el fármaco experimente síntomas de resfriado. ¿Es “infrecuente” que un paciente que toma el fármaco experimente síntomas de resfriado?
a. Total, pacientes = 19 + 844
b. P (Si síntomas) = 19 / 863
c. Si. Es infrecuente.
Efecto negativo del Viagra. Cuando el fármaco Viagra se probó clínicamente, 117 pacientes reportaron dolor de cabeza y 617 no (de acuerdo con datos de Pfizer, Inc.). Utilice esta muestra para estimar la probabilidad de que un usuario de Viagra sufra dolor de cabeza. ¿Es infrecuente que un usuario de Viagra sufra dolor de cabeza? ¿Es la probabilidad lo bastante alta como para preocupar a los usuarios de Viagra?
a. Total, pacientes = 117 + 617
b. P(Dolor) = 117 / 734 = 0.159
c. No es infrecuente el dolor de cabeza.
d. Si es preocupante.
Interpretación de la efectividad de un tratamiento. Se diseña un experimento doble ciego para probar la eficacia del fármaco Statisticzene como tratamiento para la ceguera a los números. Los sujetos muestran una mejoría cuando son tratados con Statisticzene. Los investigadores calculan que existe una probabilidad de 0.04 de que el grupo de tratamiento muestre una mejoría si el fármaco no tiene efecto alguno. ¿Es infrecuente que una persona tratada con un fármaco ineficaz muestre mejoría? ¿Qué debemos concluir acerca de la eficacia del Statisticzene?
a. Si, Es infrecuente que una persona tratada con un fármaco ineficaz muestre mejoría.
b. Puede inferirse que la eficacia del Statistczene es alta.
Probabilidad de un resultado incorrecto. La tabla de test de consumo de marihuana indica que, de los 178 sujetos que no consumieron marihuana, el resultado de la prueba del consumo de esta droga fue incorrecto en 24 ocasiones. Con base en los resultados disponibles, calcule:
a. La probabilidad de obtener un resultado de prueba incorrecto para una persona que no consume marihuana.
b. ¿Es “infrecuente” que el resultado de la prueba sea incorrecto en las personas que no utilizan marihuana?
a. P(I/N) = 24/178 = 0.134
b.
Probabilidad de resultado incorrecto. La tabla de test de consumo de marihuana indica que, de los 122 sujetos que consumen marihuana, el resultado de la prueba del consumo de esta droga fue incorrecto en 3 ocasiones. Con base en los resultados disponibles, calcule la probabilidad de obtener un resultado de prueba incorrecto para una persona que consume marihuana. ¿Es “infrecuente” que el resultado de la prueba sea incorrecto en las personas que sí consumen marihuana?
a. P(I/N) = 3/122 = 0.0245
b. Si
Espacio Muestral. Género de los hijos.
a. Determine la probabilidad de que exactamente dos de los tres hijos de una pareja sean varones. Suponga que es igualmente probable dar a luz un niño que una niña, y que el género de cualquier hijo no influye en el género de otro.
b. Determine la probabilidad de que exactamente dos de los dos hijos de otra pareja sean niñas.
a. El mayor obstáculo aquí es identificar correctamente el espacio muestral. Esto implica más que trabajar sólo con los números 2 y 3 que se dieron en el planteamiento del problema. El espacio muestral consiste en 8 diferentes formas en que 3 hijos pueden presentarse, y las listamos al margen. Como los 8 resultados son igualmente probables, usamos la regla 2. De los ocho posibles resultados, tres corresponden a exactamente dos varones, así que:
a. Espacio Muestral 23
b. P(2 varones en 3 nacimientos) = 3/8 = 0.375
b. Probabilidad de 2 niñas en dos nacimientos:
a. Espacio Muestral 22
b. P (2 niñas en 2 nacimientos) = 1/4 = 0.25
Espacio Muestral. Genética: Ambos progenitores tienen los genes de color de ojos café/azul, y cada uno contribuye con un gen para su hijo. Suponga que si el hijo tiene al menos un gen café, ese color dominará y los ojos serán cafés. (La determinación real del color de los ojos es un tanto más complicada).
Haga una lista de los posibles resultados diferentes. Suponga que estos resultados son igualmente probables.
· ¿Cuál es la probabilidad de que un hijo de estos padres tenga el par de genes azul/azul?
· ¿Cuál es la probabilidad de que el hijo tenga ojos cafés?
a. Espacio Muestral:
· Madre: c,a: 0,0; 0, 1; 1,0; 1,1. => 22 = 4
· Padre: c,a: 0,0; 0, 1; 1,0; 1,1. => 22= 4
b. Probabilidad de hijo con genes azul/azul
· P (Azul y Azul) = ¼ * ¼ = 1/16
c. Probabilidad de hijo con ojos café
· P (Hijo Ojos Café) = 2/4 * 2/4 = ½ * ½ = ¼
Espacio Muestral. Genética: Ahora supongamos que uno de los padres tiene genes de color de ojos café/café (por ejemplo, el padre), en tanto que el otro tiene genes de color de ojos café/azul.
· Haga una lista de los posibles resultados diferentes. Suponga que estos resultados son igualmente probables.
· ¿Cuál es la probabilidad de que un hijo de estos padres tenga el par de genes azul/azul?
· ¿Cuál es la probabilidad de que el hijo tenga ojos cafés?
a. Espacio Muestral:
i. Madre: c,a: 0,0; 0, 1; 1,0; 1,1. => 22 = 4
ii. Padre: 1,1. => 1 (café, café)
b. Probabilidad de hijo con genes azul/azul
iii. P (Azul y Azul) = 1/4 * 0 = 0
c. Probabilidad de hijo con ojos café
iv. P (Hijo Ojos Café) = 1/4 * 1 = 1. Prevalece el gen café por encima del azul según lo estipulado.
Espacio Muestral. Genética: Suponiendo que uno de los padres (padre) tiene genes de color de ojos café/café, en tanto que el otro tiene genes de color de ojos azul/azul.
· Haga una lista de los posibles resultados diferentes. Suponga que estos resultados son igualmente probables.
· ¿Cuál es la probabilidad de que un hijo de estos padres tenga el par de genes azul/azul?
· ¿Cuál es la probabilidad de que el hijo tenga ojos cafés?
a. Espacio Muestral:
i. Madre: c,a: 0,0; => 1 (azul, azul)
ii. Padre: 1,1. => 1 (café, café)
b. Probabilidad de hijo con genes azul/azul
iii. P (Azul y Azul) = 1 * 0 = 0
c. Probabilidad de hijo con ojos café
iv. P (Hijo Ojos Café) = 0 * 1 = 1. Prevalece el gen café por encima del azul según lo estipulado.
Posibilidades en el solitario. Puesto que los cálculos en el solitario son tan complejos, se jugó el juego 500 veces para estimar la probabilidad de ganar. (Los resultados son del juego de solitario de Microsoft y se utilizaron las reglas de Vegas de “tomar 3”, con una apuesta de $52 y una devolución de $5 por carta). De los 500 ensayos, se ganaron 77 juegos. Con base en estos resultados, calcule las posibilidades en contra de ganar.
a. Chances: 423 perder-77 ganar.
· 5.49/1 perder/ganar.
Posibilidades en el Derby de Kentucky. La probabilidad de que el caballo Outta Here ganara el 129º Derby de Kentucky era 1/50. ¿Cuáles eran las posibilidades reales en contra de que Outta Here ganara esa carrera?
a. Probabilidad: 1/50 ganar. Probabilidad de perder 49/50.
b. Chances de Perder: 49/50/1/50 = 49/1
Posibilidades en la ruleta. Una rueda de ruleta tiene 38 ranuras, una ranura es 0, otra es 00 y cada una de las demás están numeradas del 1 al 36. Usted está apostando a un número impar.
a. ¿Cuál es su probabilidad de ganar? R= 18/38
b. ¿Cuáles son las posibilidades reales en contra? R=1-18/3 = 20/38.
c. Cuando se apuesta a número impar, las posibilidades de pago son 1:1. ¿Qué ganancia podría obtener al apostar $18 si gana? R = 18
d. ¿Qué ganancia podría obtener al apostar $18, si de alguna manera pudiera convencer al casino de modificar sus posibilidades de pago para que fueran las mismas que las posibilidades reales en contra? R=20.
e. (Recomendación: No trate realmente de convencer a ningún casino de esto; carecen totalmente de sentido del humor cuando se trata de asuntos de este tipo).
Posibilidades en el Derby de Kentucky. Cuando el caballo Funny Cide ganó el 129º Derby de Kentucky, una apuesta de $2 a que Funny Cide ganaría dio por resultado un reintegro de $27.60.
a. ¿Qué ganancia neta hubo al ganar con una apuesta de $2 a Funny Cide? R = 25,6
b. ¿Cuáles fueron las posibilidades de pago en contra de que Funny Cide ganara? R = Ganancia Neta /Apuesta = 25,6/ 2 = 12,8
c. Con base en el paseo preliminar a la carrera, los apostadores colectivamente creyeron que Funny Cide tenía una probabilidad de ganar de 2/33. Suponiendo que 2/33 era la probabilidad real de la victoria de Funny Cide, ¿cuáles fueron las posibilidades reales en contra? R= 31/33
d. ¿Cual son las posibilidades reales en contra son la razón entre la probabilidad de que Funny Cide no gane y la probabilidad de que gane? R= 31/33/2/33 = 21/2
e. ¿cuánto valdría un boleto de $2 después de que Funny Cide ganara? R=31+2 = 33
Cálculo de probabilidad a partir de posibilidades. Si las posibilidades reales en contra de un suceso A son a:b, entonces P(A)= b((a+b). Calcule la probabilidad de que el caballo Buddy Gil ganara el 129º Derby de Kentucky, dado que las posibilidades reales en contra eran de 9:1.
a. P(A)= 9/(1+9) = 0,1 [Probabilidad de ganar]
Riesgo relativo y razón de probabilidad.
· En un ensayo clínico con 734 sujetos trata dos con Viagra, 117 reportaron dolor de cabeza. R = pt = 117/734. ( 0.1594 aprox)
· En un grupo de control de 725 sujetos no tratados con Viagra, 29 reportaron sufrir dolor de cabeza. R = pc = 29/725. (0.0400 aprox)
· Si la proporción de dolores de cabeza en el grupo de tratamiento se denota como pt y la proporción de dolores de cabeza en el grupo de control como pc, el riesgo relativo es pt/pc. El riesgo relativo es una medida de la fuerza del efecto del tratamiento con Viagra. R = pt/pc = 117/734/29/725=3,9
· Otra medida como ésta es la razón de probabilidad, que es el cociente de las posibilidades a favor de un dolor de cabeza en el grupo de tratamiento entre las posibilidades a favor de un dolor de cabeza en el grupo de control, el cual se calcula evaluando lo siguiente:
i. pt/(1-pt)/pc(1-pc)
ii. 0.1594/(1-0.1594)/ 0.0400/(1-0.0400) = 4.5444
· El riesgo relativo y la razón de probabilidad se utilizan comúnmente en estudios médicos y epidemiológicos.
Moscas en una naranja. Si dos moscas se posan sobre una naranja, calcule la probabilidad de que ambas se localicen en puntos pertenecientes al mismo hemisferio.
a. La probabilidad de que la primer mosca se pose en una mitad de la naranja es ½+1/2 = 1.
b. La probabilidad de que la segunda mosca se pose en la misma mitad es igual a ½ ya que se puede posar en una mitad o en la otra. Entonces hay solo un 50% de probabilidades de que se pose en la mima mitad.
c. La probabilidad total es: 1 * ½ = 1/2
Puntos en un palo. Se seleccionan al azar dos puntos a lo largo de un palo recto. Después se rompe el palo en esos dos puntos. Calcule la probabilidad de que los tres pedazos que quedan se puedan acomodar para formar un triángulo. (Quizá éste sea el ejercicio más difícil del libro).
La desigualdad triangular establece que para cualquier triángulo, la longitud de cualquier lado debe ser menor que la suma de las longitudes de los otros dos lados y mayor que la diferencia absoluta de las longitudes de los otros dos lados.
Primero, consideremos la longitud total del palo recto como 1. Después, seleccionamos dos puntos al azar en el palo recto. La primera elección determinará la longitud xxx del primer segmento y, por lo tanto, el segundo segmento tendrá una longitud de 1−x.
Para que los tres segmentos formen un triángulo, deben cumplirse las siguientes condiciones basadas en la desigualdad triangular:
1. x+(1−x)>1−(1−x)), para asegurar que el primer segmento sea más corto que la suma de los otros dos.
2. 1−(1−x)>x, para asegurar que el primer segmento sea más largo que la diferencia entre los otros dos.
Resolviendo estas desigualdades, obtenemos:
x+(1−x)>1−(1−x) ⇒ 2>2x⇒x<1/2x
1−(1−x)>x⇒1+x>x⇒1>0
Estas condiciones se cumplen para 0<x<1/2. Entonces, los segmentos resultantes formarán un triángulo si y solo si 0<x<1/2.
Para calcular la probabilidad de que x esté en este rango, podemos usar la distribución uniforme, que asigna igual probabilidad a cualquier punto en el intervalo 0<x<1
Como el largo del palo es 1, la probabilidad de que x esté en el rango 0<x<1/2 es simplemente la longitud de este subintervalo dividido por la longitud total del intervalo, es decir:
P(0<x<1/2) =1/2/1=1/2
Por lo tanto, la probabilidad de que los tres segmentos resultantes formen un triángulo es 1/2.