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Reglas de Probabilidad

Suma y Multiplicación. Sucesos Compuestos, disjuntos, excluyentes, dependientes e independientes.

Reglas de probabilidad

Reglas de probabilidad

Suceso Compuesto

Un suceso compuesto es cualquier suceso que combine dos o más sucesos simples.

Es interesante ver como pueden ser esos dos o mas sucesos simples: 

  1. Sucesos Disjuntos o Excluyentes: Los sucesos A y B son disjuntos (o mutuamente excluyentes) cuando ambos no pueden ocurrir al mismo tiempo. (Es decir, los sucesos disjuntos no se traslapan).

  2. Sucesos independientes: A y B son independientes cuando la ocurrencia de uno no afecta la probabilidad  de la ocurrencia del otro. (De manera similar, muchos otros sucesos son independientes si la ocurrencia de cualquiera no afecta las probabilidades de la ocurrencia de los demás). Los sucesos independientes si pueden ocurrir simultáneamente. Si A y B no son independientes, se dice que son dependientes.

  3. Sucesos Conjuntos o no Excluyentes: Se pueden superponer arrojando resultados comunes además de exclusivos. Es decir se traslapan.

  4. Sucesos complementarios: son dos eventos que se relacionan de tal manera que si uno ocurre, el otro no puede ocurrir, y juntos abarcan todos los posibles resultados del experimento o situación en cuestión.Más formalmente, si A es un suceso en un espacio muestral S, el suceso complementario de A, denotado como Ac, es el conjunto de todos los resultados en S que no están en A. En otras palabras, Ac ocurre si y solo si A no ocurre. Algunas propiedades importantes de los sucesos complementarios son:

  • P(A)+P(Ac)=1 Suma es 1.

  • P(Ac)=1−P(A) Suma es 1.

  • P(A∩Ac)=0 Excluyentes.

  • P(A∪Ac)=1 Cobertura del espacio muestral.

Regla de la suma

P(A o B) = P(en un solo ensayo, ocurre el suceso A u ocurre el suceso B o ambos ocurren).

Para calcular la probabilidad de que un suceso A ocurra o un suceso B ocurra, calcule el número total de formas en que A puede ocurrir y el número de formas en que B puede ocurrir, pero calcule ese total de tal manera que ningún resultado se cuente más de una vez.

Regla formal de la suma

P(A o B)  P(A) + P(B) - P(A y B)

donde P(A y B) denota la probabilidad de que A y B ocurran al mismo tiempo, como resultado en un ensayo de un procedimiento.

Los errores que se cometen al aplicar la regla de la suma a menudo implican un conteo doble; es decir, tratar a los sucesos que no son disjuntos como si lo fueran. Una indicación de este tipo de error es una probabilidad total mayor que 1; sin embargo, no siempre los errores que implican a la regla de la suma hacen que la probabilidad total sea mayor que 1.

Regla de la Multiplicación

P(A y B) = P(el suceso A ocurre en un primer ensayo y el suceso B ocurre en un segundo ensayo o ambos ocurren simultáneamente. Pero ambos ocurren)

Para calcular la probabilidad de que el suceso A ocurra en un ensayo y el suceso B ocurra en el siguiente ensayo, multiplique la probabilidad del suceso A por la probabilidad del suceso B, pero asegúrese de que la probabilidad del suceso B toma en cuenta la ocurrencia previa del suceso A. Entonces debe multiplicar las probabilidades teniendo en cuenta si se trata de sucesos son dependientes o independientes.

Regla formal de la multiplicación

  1. P(A∩B)=P(A)⋅P(B) si los sucesos son independientes.

  2. P(A∩B)=P(A)⋅P(B∣A)) si los sucesos son dependientes

Tratamiento de sucesos dependientes e independientes

Es común tratar sucesos como independientes cuando se toman muestras pequeñas de poblaciones grandes. En estos casos, es raro que se seleccione el mismo elemento dos veces. 

Si el tamaño de la muestra no es mayor que el 5% del tamaño de la población, trate las selecciones como si fueran independientes (si las selecciones se hacen sin reemplazo, de manera que sean técnicamente dependientes).

Los encuestadores usan este lineamiento cuando encuestan apenas a 1000 adultos de poblaciones de millones. Ellos suponen independencia, aunque toman la muestra sin reemplazo.

Regla del complemento y del al menos uno

Esta regla está compuesta por dos premisas:

  • Premisa del complemento: P(complemento A) = 1 - P(A)

  • Premisa del al menos uno: P(al menos uno) = P(uno o mas) = 1 - P(ninguno)

Probabilidad condicional

La probabilidad condicional de un suceso es una probabilidad obtenida con la información adicional de algún otro evento que ya ocurrió. P(B|A) denota la probabilidad condicional de que el suceso B ocurra, dado que el suceso A ya ocurrió, y puede calcularse dividiendo la probabilidad de que ambos sucesos A y B ocurran entre la probabilidad del suceso A:

  • P (B/A) = P(A y B) / P(A)

La probabilidad condicional de B dado A puede calcularse suponiendo que el suceso A ya ocurrió y, bajo ese supuesto, calcular la probabilidad de que ocurra el suceso B.

Confusión del Inverso

El hecho de creer de manera incorrecta que P(B k A) y P(A k B) son iguales, o utilizar incorrectamente un valor por otro suele llamarse confusión del inverso. Diversos estudios demuestran que los médicos a menudo dan información incorrecta cuando confunden el inverso. Con base en estudios reales, tienden a confundir P(cáncer k prueba positiva) con P(prueba positiva|cáncer). Alrededor del 95% de los médicos estimaron que P(cáncer k prueba positiva) implica

10 veces más probabilidades; como consecuencia, esos pacientes recibieron diag- nósticos muy confusos, sintiéndose innecesariamente alterados por la información incorrecta.

Resumen de las reglas de probabilidad

Podemos resumir los fundamentos de las reglas de la suma y de la multiplicación como sigue:

  1. En la regla de la suma, la palabra “o” en P(A o B) sugiere suma. Sume P(A) y P(B), teniendo cuidado de sumar en tal forma que cada resultado se cuente sólo una vez.

  2. En la regla de la multiplicación, la palabra “y” en P(A y B) sugiere multiplicación. Multiplique P(A) y P(B), pero asegúrese de que la probabilidad del suceso B tome en cuenta la ocurrencia previa del suceso A.

  3. En la regla de sucesos dependientes/independientes, asumimos sucesos dependientes como independientes cuando se trata de una pequeña muestra de una población muy grande.

  4. En la regla de la probabilidad condicional, calculamos la probabilidad de un evento sabiendo que otro evento sobre la misma muestra ya ocurrió.

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