Es sabido que la mediana de un conjunto de daos es el valor que está a la mitad del conjunto, de manera que la mediana y el 50% de los valores son mayores o iguales que la mediana y el otro 50% son menores que la misma. Ahora se cual es el concepto de cuartil y posteriormente el de percentil.

Cuartiles

Así como la mediana divide los datos en dos partes iguales, los tres cuartiles, denotados por Q1, Q2 y Q3, dividen los valores ordenados en cuatro partes iguales. (Los valores están ordenados). 

Las descripciones de los tres cuartiles son:

1. Primer cuartil Q1: Separa el 25% inferior de los valores ordenados del 75% superior. (Para ser más precisos, al menos el 25% de los valores ordenados son menores o iguales que Q1, y al menos el 75% de los valores son mayores o iguales que Q1).

2. Segundo cuartil Q2: Igual a la mediana; separa el 50% inferior de los valores ordenados del 50% superior.

3. Tercer cuartil Q3: Separa el 75% inferior de los valores ordenados del 25% superior. (Para ser más precisos, al menos el 75% de los valores ordenados son menores o iguales que Q3, y al menos el 25% de los valores son mayores o iguales que Q3).

Entonces, de manera resumida es facil recordar que:

Q1 => Percentil 25. Incluye el 25% de los valores inferiores del conjunto de datos ordenados.

Q2 => Percentil 50 Incluye el 50% de los valores inferiores del conjunto de datos ordenados.

Q3 => Percentil 75 Incluye el 75% de los valores inferiores del conjunto de datos ordenados.

Debe recordarse siempre que cuando hablamos de percentiles:

1. sí, estamos hablando de cantidades de datos de un conjunto de datos que están en un percentil.

2. no estamos hablando de los valores de los datos que están en un percentil.

3. si estamos hablando sobre una sola dimensión que es 'cantidad de datos'.

No existe un acuerdo universal respecto de un procedimiento único para el cálculo de cuartiles; por esa razón, con frecuencia los distintos programas de cómputo producen resultados diferentes. 

Percentiles

Así como existen tres cuartiles que separan un conjunto de datos en cuatro partes, también existen 99 percentiles, que se denotan  P1, P2,,..., P99, los cuales separan los datos en 100 grupos, con aproximadamente el 1% de los valores en cada grupo. 

• Los cuartiles y percentiles son ejemplos de cuantiles o fractiles, que separan los datos en grupos con aproximadamente el mismo número de valores.

Percentil del "valor x"

El proceso para calcular el percentil de un valor x específico es bastante sencillo, tal como se indica en la siguiente expresión: 

• Percentil  del valor 30 = cantidad de valores menores que x /cantidad total de valores * 100

Por ejemplo:

• Percentil del valor 50 = cantidad de valores menores que el numero 50 del total de valores / total de valores * 100

Notese que el cociente da un numero decimal menor a uno antes de ser multiplicado por 100.

Por ejemplo:

• De un conjunto 76 valores (que van del 21 al 80) en total queremos en que percentil están con tenidos todos los valores menores que 30

• Vemos el conjunto de los 76 valores hay una cantidad de 26 de esos valores que presentan números por debajo de 30.

• Percentil del valor 30 = 26/76 * 100= 34

• Percentil del valor 30 = Percentil 34 = P34

Cantidad de valores dentro de un percentil x

La fórmula para calcular la cantidad de valores dentro de un percentil es:

Cantidad de valores contenidos en el percentil x = Percentil x/100 * cantidad total de valores

Por ejemplo:

• De un conjunto de 76 valores en total queremos saber cual es el valor correspondiente al percentil 34.

• Cantidad de valores contenidos en P34 = 34/100 * 76 = 25.84

• Cantidad de valores contenidos en P34 = 26

Cuartiles y percentiles

Pueden verse en las graficas las siguientes representaciones:

• Un ejemplo de distribución normal de una muestra en donde se han marcado los cualrtiles y percentiles. Tambén se grafica la distribución y un boxplot en el que se muestra la concentracion y dispersión de los datos.

• Un ejemplo de distribución exponencial de una muestra en dónde se han marado cuartiles y percentiles. También se grafica la misma distribucón y un boxplot en el que se muestra la concentración y dispersión de los datos.

Ambos ejemplos están calculados en un jupyter notebook que está compartido en github.

Mas ejemplos:

En github y dentro de un jupyter notebook se comparten una cantidad considerable de muestras en lasa que se calculan cuartiles y rangos intercuantilicos.

Referencias:

Estadística. Mario Triola.