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Distribución de Probabilidad

Distribución de probabilidad. Esperanza. Valor esperado. Resultados infrecuentes. Regla del intervalo 68, 95, 99.7.

Distribución de probabilidad

Distribución de probabilidad

Disribución de probabilidad

Una distribución de probabilidad es una distribución que indica la probabilidad de cada valor de la variable aleatoria. A menudo se expresa como gráfica, tabla o fórmula.

Una distribución de probabilidad es como una distribución de frecuencias, en dónde la frecuencia o valor correspondiente a cada valor de x es un valor de probabilidad.


Ejemplo: Selección  de miembros  del  jurado.

  • Se elegirá al azar a 12 integrantes del jurado de una población en la que el 80% de miembros del jurado se seleccionan al azar sin sesgo y si permitimos que x   número de méxico-estadounidenses en un total de 12 miembros del jurado entonces x es una variable aleatoria porque su valor depende del azar. 

  • Los valores posibles de x son 0, 1, 2, . . . , 12. La 

  • tabla incluye los valores de x, junto con las probabilidades correspondientes. Los valores de probabilidad que son muy pequeños, como 0.000000123, están representados por 0  .

  • Puesto que la tabla incluye la probabilidad para cada valor de la variable aleatoria x, esa tabla describe una distribución de probabilidad.

La figura es un histograma de probabilidad muy similar al histograma de frecuencias relativas, pero la escala vertical indica probabilidades en vez de frecuencias relativas basadas en resultados muestrales reales.


Esperanza o valor esperado

El valor esperado de una variable aleatoria discreta se denota por E y representa el valor promedio de los resultados.

La media de una variable aleatoria discreta es el resultado medio teórico de un nú mero infinito de ensayos. Podemos considerar esa media como el valor esperado en el sentido de que constituye el valor promedio que esperaríamos obtener si los ensayos pudieran continuar de manera indefinida. Los usos del valor esperado (también llamado esperanza o esperanza matemática) son extensos y variados, y desempeñan un papel muy importante en una área de aplicación denominada teo- ría de la decisión.

Ejemplo: Selección  de miembros  del  jurado.

La media de este ejemplo es:

Media: 9.6 

Por lo tando el valor esperado es: 9.6

Es decir que se espera que en un jurado de 12 miembros existan entre 9 y 10 miembros mexico-estadounidenses.


Identificación de resultados poco comunes con la regla práctica del intervalo

La regla práctica del intervalo (que se estudia en estadística descriptiva) resulta útil para interpretar los valores de una desviación estándar. 

  1. La regla prática del intervalo, es también conocida como regla del 68, 99.5, 99.7%

  2. Según la regla práctica del intervalo, la mayoría de los valores deben caer dentro de 2 desviaciones estándar de la media; 

  3. No es comúnque un valor difiera de la media en más de dos desviaciones es tándar. 

  4. El uso de dos desviaciones estándar no es un valor absolutamente rígido, y en su lugar se pueden emplear otros valores como 3. 

  • De esta manera, podemos identificar valores “poco comunes” si se determina que caen fuera de los siguientes límites:

    • Regla práctica del intervalo

      • valor máximo común  : media  + dos desvios estandard.

      • valor mínimo común   : media - dos desvíos estandard.

Ejemplo: Selección  de miembros  del  jurado

Los estadísticos del este ejemplo son:

Media    : 9.6 

Varianza : 94.08 - 9.6**2 = 1.92

Desviación Estandard: 1.3856

Los valores más probables de x están entre 6.82 y 12.37 (valores mínimo y máximo comunes)

Con base en estos resultados, concluimos que, para grupos de 12 miembros del jurado  elegidos al azar en el condado de Hidalgo, el número de méxico-estadounidenses debe caer entre 6.8 y 12.4. Si un jurado consta de 7 méxico-estadounidenses, no se trata de un suceso poco común y no serviría como base para afirmar que el jurado se eligió de una manera que discrimina a los méxico-estadounidenses. (El jurado que sentenció a Roger Partida incluyó a 7 méxico-estadounidenses, pero la acusación de un proceso de selección injusto se basó en el proceso utilizado para seleccionar al Gran Jurado y no al jurado específico que lo sentenció).


Sucesos o resultados infrecuentes infrecuentes

Si, bajo un supuesto dado, la probabilidad de un suceso particular observado (como 992 caras en 1000 lanzamientos de una moneda) es extremadamente pequeña, concluimos que el supuesto probablemente no sea correcto. Las probabilidades se pueden utilizar para aplicar la regla del suceso infrencuente.


Uso de las probabilidades para determinar resultados infrecuentes

●  Número de éxitos inusualmente alto: x éxitos en n ensayos es un número inusualmente alto de éxitos si P(x o más)  0.05.*

●  Número de éxitos inusualmente bajo: x éxitos en n ensayos es un número inusualmente bajo de éxitos si P(x o menos)  0.05.*

El valor de 0.05 se utiliza de forma regular, pero no es absolutamente rígido. Se podrían usar otros valores, como 0.01, para distinguir entre sucesos que pueden ocurrir con facilidad por azar y sucesos que tienen muy pocas probabilidades de ocurrir por azar.


Ejemplo: 

Selección  de miembros  del jurado Si el 80% de  las personas que pueden fungir como miembros del jurado en el condado de Hidalgo son méxico-estadounidenses, entonces un jurado de 12 individuos seleccionados al azar debe incluir 9 o 10 méxico-estadounidenses. (La media del número de méxico-estadounidenses en los jurados es de de 9.6). ¿Siete jueces méxico-estadounidenses, de un total de 12, es un número excepcionalmen- te bajo? ¿La selección de sólo 7 méxico-estadounidenses en un total de 12 miembros del jurado sugiere que existe discriminación en el proceso de selección?

Usaremos el criterio de que 7 méxico-estadounidenses en un total de 12 miembros del jurado es excepcionalmente bajo si P(7 o menos méxico-estadounidenses) <= 0.05. Si nos remitimos a la tabla obtenemos el siguiente resultado:

P(7 o menos méxico-estadounidenses en un total de 12 miembros del jurado) =

P(7 o 6 o 5 o 4 o 3 o 2 o 1 o 0) = P(7) + P(6) + P(5) + P(4) + P(3) + P(2) + P(1) + P(0) =

P(7 o 6 o 5 o 4 o 3 o 2 o 1 o 0) =  0.053  0.016  0.003  0.001  0  0  0  0 =

P(7 o menos méxico-estadounidenses en un total de 12 miembros del jurado) = 0.073

Interpretación: Puesto que la probabilidad de 0.073 es mayor que 0.05, concluimos que el resultado de 7 méxico-estadounidenses no es poco común. Existe una alta probabilidad (0.073) de seleccionar a 7 méxico-estadounidenses por azar. (Sólo una probabilidad de 0.05 o menor indicaría que el suceso es poco común). Ningún tribunal de justicia declararía que, en esas circunstancias, la selección de sólo 7 méxico-estadounidenses es discriminatoria.

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