Distribuciones Discretas

Distribuciones Binomial, Geométrica, Hipergeométrica, Multinomial, Negativa, Poisson

Antes de repasar las distribuciones discretas es importante tener en mente las diferencias entre ensayos y observaciones de cada ensayo y en que categoría entran las distribuciones de probabilidad discretas.

Ensayos y observaciones

Ensayos

• Definición: En el contexto de la teoría de probabilidades y estadística, un ensayo se refiere a cada repetición independiente de un experimento aleatorio.

• Ejemplo: Lanzar una moneda una vez es un ensayo. Lanzar la moneda 10 veces significa que se realizaron 10 ensayos.

Observaciones

• Definición: Una observación se refiere a cada punto de datos registrado o medido en un estudio o experimento. Las observaciones pueden provenir de ensayos.

• Ejemplo: Si registras el resultado de cada lanzamiento de moneda, cada resultado (cara o cruz) es una observación. Si lanzas la moneda 10 veces, tendrás 10 observaciones.

Distribución de Probabilidad Binomial

Las distribuciones de probabilidad binomial nos permiten enfrentar circunstancias en las que los resultados pertenecen a dos categorías relevantes, tales como:

• exito/fracaso

• aceptable/defectuoso

• sobrevivió/murió.

Una distribución de probabilidad binomial resulta de un procedimiento que cumple con todos los siguientes requisitos:

1.  El procedimiento tiene un número fijo de ensayos.

2.  Los ensayos deben ser independientes. (El resultado de cualquier ensayo individual no afecta las probabilidades de los demás ensayos).

3. Todos los resultados de cada ensayo deben estar clasificados en dos categorías (generalmente llamadas éxito y fracaso).

4.  La probabilidad de un éxito permanece igual en todos los ensayos.

Si un procedimiento satisface estos cuatro requisitos, la distribución de la variable aleatoria x (número de éxitos) se denomina distribución de probabilidad binomial (o distribución binomial), en la que suele usarse la siguiente notación:

P(x)= n!/(x!(n-x)!) p^x p^((n-x))

• x es un número específico de éxitos en n ensayos, de manera que x puede ser cualquier número entero entre 0 y n inclusive.

• p  es la probabilidad de éxito en uno de n ensayos.

• q  es la probabilidad de fracaso en uno de n ensayos.

• P(x)  denota la probabilidad de lograr exactamente x éxitos en los n ensayos.

Ver ejemplos de Distribución Binomial Discreta en su apartado y en consideraciones de probabilidades discretas.

Distribución Binomial Negativa

La distribución binomial negativa es una distribución de probabilidad discreta que modela el número de ensayos necesarios para obtener un número fijo de éxitos en ensayos independientes y con la misma probabilidad de éxito en cada ensayo. 

P(x)= C(x-1),(r-1)) p^r (1-p)^x-1

• x es el numero de ensayos necesarios

• p es la probabilidad de éxtito en un solo ensayo.

• r es el numero total de éxitos que se definen como deseables de obtener.

donde:

• C(x-1),(r-1))  es el coeficiente binomial, que representa el número de formas de elegir r−1 éxitos en los primeros x−1 ensayos. En otras palabras, son las cobinaciones de x-1 ensayos tomados de a r-1 éxitos.

• p^r es la probabiliad de obtener r éxitos

• (1-p)^x-1 es la probabilidad de obtener x-r fracasos

Ver ejemplos de distribución binomial negativa en su apartado y en consideracones de distribuciones de probabilidad discreta.

Distribución Geométrica

Si un procedimiento cumple con todas las condiciones de una distribución binomial, excepto que el número de ensayos no es fijo, entonces se puede utilizar una distribución geométrica. La probabilidad de obtener el primer éxito en el ensayo x-ésimo está dada por:

P(x)= p(1-p)^((x-1))

donde p es la probabilidad de éxito en cualquier ensayo. 

Ver ejemplos de distribución de probabilidad geométrica en su apartado y en consideracones de distribuciones de probabilidad discreta.

Distribución hipergeométrica

Si realizamos un muestreo sin reemplazo de una población finita pequeña, no debe usarse la distribución binomial porque los eventos no son independientes. Debe usarse la Distribución de Probabilidad Hipergeométrica.

• Si el muestreo se hace sin reemplazo y los resultados pertenecen a uno de dos tipos, podemos usar la distribución hipergeométrica. 

La formula es:

P(x)=(C(n,x))(C(M-n),(m-x))/(C(M,m)) 

• x: número total de éxitos de la muestra (valor buscado)

• n: número total de éxitos de la población.

• m: tamaño total de la muestra

• M: tamaño total de la población

Leyendo la formula con palabras podemos decir que, la probabilidad de que la cantidad de éxitos sea igual a x es igual a: 

Sucesos faborables y desfavorables 

sobre 

Sucesos posibles

donde:

Sucesos faborables y desfavorables = C(Faborables) * C(Desfavorables)

sobre

Sucesos Posibles = C(Población tomadas por el tamaño de la muestra)

es decir:

• "Sucesos faborables" : 

• combinaciones favorables: 

• las combinaciones de la cantidad de éxitos de la población tomadas por el numero total de éxitos de la muestra, 

• por, 

• combinaciones desfavorables: 

• las combinaciones del tamaño de la población menos el numero de exitos de la población, tomadas por el numero de fracasos de la muestra. (El numero de éxitos y el numero de fracasos son complementarios)

• sobre "Sucesos posibles": 

• combinaciones del tamño total de la población tomadas por el tamaño total de la muestra.

Ver ejemplos de distribución de probabilidad hipergeométrica en su apartado y en consideraciones de distribuciones de probabilidad discreta.

Distribución multinomial

La distribución binomial se aplica únicamente a casos que implican dos tipos de resultados, mientras que la distribución multinomial supone más de dos categorías. Suponga que tenemos tres tipos de resultados mutuamen- te excluyentes, denotados por A, B y C. Sean P(A) p1, P(B) p2 y P(C) p3. En n ensayos independientes, la probabilidad de x1 resultados tipo A, x2 resultados tipo B y x3 resultados tipo C está dada por:

P(x1, x2,..., xn)= n!/(x1!x2!...xn!) p^x1 p^x2 ... p^xn

Ver ejemplos de la distribución multinomial en su apartado y en consideraciones de distribución de probabilidad discreta.

Distribución de Poisson

La distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta que modela la probabilidad de que ocurra un número determinado de eventos aleatorios en un intervalo fijo de tiempo o espacio, siempre y cuando estos eventos se produzcan con una tasa promedio conocida y sean independientes entre sí.

Veamos el contenido de esta definición:

• Eventos: Son sucesos aleatorios que se cuentan (por ejemplo, llamadas telefónicas que llegan a un centro de atención en 1 hora).

• Intervalo fijo: Es el período de tiempo o espacio en el que se observan los eventos (por ejemplo, 1 hora, 10 metros cuadrados).

• Tasa promedio: Es el número medio de eventos que se espera que ocurran en el intervalo fijo (por ejemplo, 10 llamadas por hora).

• Independencia: Cada evento ocurre independientemente de los demás y no afecta la probabilidad de que ocurran otros eventos.

La probabilidad de que ocurran k eventos en un intervalo fijo se calcula con la siguiente fórmula:

P(k) = (e^(-λ) * λ^k) / k!

donde:

• P(k) es la probabilidad de que ocurran k eventos.

• e es la base del logaritmo natural (aproximadamente 2.718).

• λ es la tasa promedio de eventos en el intervalo fijo.

• k es el número de eventos que se desea calcular la probabilidad (0, 1, 2, 3, ...).

• k! es el factorial de k (k * (k - 1) * (k - 2) * ... * 1).

Propiedades:

• La media (µ) y la varianza (σ²) de la distribución de Poisson son iguales a la tasa promedio (λ):µ = λ
  σ² = λ

• La distribución de Poisson se aproxima a una distribución binomial cuando el número de ensayos (n) es grande y la probabilidad de éxito (p) es pequeña (np ≈ λ).

Parámetros:

El único parámetro de la distribución de Poisson es la tasa promedio (λ), que representa el número medio de eventos que se espera que ocurran en el intervalo fijo.

Ver ejemplos de la distribución de Poisson en su apartado y en consideraciones de distribución de probabilidad discreta.

Distribución Uniforme Discreta

La distribución uniforme discreta es una distribución de probabilidad que se aplica a variables aleatorias que solo pueden tomar un número finito de valores enteros dentro de un intervalo específico. Se caracteriza por asignar la misma probabilidad a cada uno de los valores posibles.

Definición:

Una variable aleatoria X se dice que sigue una distribución uniforme discreta con parámetros a y b, denotada como X ~ U(a, b), si cumple las siguientes condiciones:

• Intervalo: a y b son enteros, donde a ≤ b.

• Valores posibles: X solo puede tomar los valores enteros a, a + 1, a + 2, ..., b.

• Igualdad de probabilidades: La probabilidad de que X tome cualquier valor dentro del intervalo es la misma:

P(X = x) = 1/(b - a + 1) para x ∈ {a, a + 1, ..., b}

La distribución de probabilidad uniforme discreta se puede profundizar en su apartado y en consideraciones de distribuciones de probailidad discreta.

Ejemplo conceptual

Un ejemplo de estas distribuciones se comparte en un jupyter notebok en github.

El código presentado tiene como objetivo crear gráficos de varias distribuciones discretas en subplots utilizando Python y las bibliotecas numpy, matplotlib, y scipy.stats. Las distribuciones incluidas  y sus representaciones gráficas  se pueden ver en las figuras correspondientes.

Distribuciones Incluidas:
Binomial: Modela el número de éxitos en una serie de ensayos independientes con dos posibles resultados (éxito o fracaso).
Multinomial: Extensión de la binomial para más de dos posibles resultados en cada ensayo.
Geométrica: Modela el número de ensayos necesarios para obtener el primer éxito.
Binomial Negativa: Modela el número de fracasos antes de alcanzar un número fijo de éxitos.
Hipergeométrica: Modela la probabilidad de éxito en ensayos sin reemplazo.
Uniforme Discreta: Cada resultado posible dentro de un rango tiene la misma probabilidad.
Poisson: Modela el número de eventos en un intervalo fijo de tiempo o espacio.
Bernoulli: Modela un solo ensayo con dos posibles resultados (éxito o fracaso).